determine a maior área de um triângulo isósceles contendo um perímetro de 45 cm
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A área máxima do triângulo isósceles de perímetro 45 cm é 97,4 cm².
- Considere o triângulo isósceles da figura anexa onde:
c: medida dos lados congruentes.
h: medida da altura.
n: medida da semi-base.
- Se o perímetro do triângulo mede 45 cm então:
2n + 2c = 45 ⟹ Divida ambos os membros por 2.
- Observe que a altura do triângulo isósceles o divide em dois triângulos retângulos congruentes. Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.
c² = n² + h² ⟹ Substitua o valor de c.
- A área do triângulo é obtida calculando a metade do produto entre base e altura. Observe que a base do triângulo mede 2n.
A = n ⋅ h ⟹ Substitua o valor de n.
- Deseja-se saber a área máxima do triângulo para um perímetro de 45 cm, portanto é necessário determinar um máximo relativo para a função A(h).
- A derivada de uma função num determinado ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Nos pontos de máximo ou mínimo relativo a reta tangente à curva é horizontal e portanto seu coeficiente angular é zero.
- Portanto se derivarmos a função, igualá-la a zero e determinarmos suas raízes, obtém-se os valores de h para os quais o coeficiente angular da reta tangente à curva é zero e portanto serão, valores de máximo e mínimo relativo da função, sendo que um deles representa o valor da altura h cuja área do triângulo é máxima.
- Obtenha a derivada da função A(h).
- Iguale a zero e obtenha o valor de h para área máxima.
- Substitua o valor de h na equação da área e obtenha a área máxima.
A ≈ 97,4 cm²
A área máxima do triângulo isósceles de perímetro 45 cm é 97,4 cm².
Aprenda mais:
- Substitua o valor de h na equação de n e determine a medida da base do triângulo.
- Observe que a medida da base (b) é o dobro de n.
b = 2n
b = 15 cm
- Se o perímetro é 45 então:
2c + b = 45
2c + 15 = 45
2c = 30
c = 15 cm
Observe que os três lados do triângulo medem 15 cm, portanto a área máxima de um triângulo de determinado perímetro é obtida quando o triângulo é equilátero.
Outras aplicações da derivada:
- https://brainly.com.br/tarefa/38096830
Anexos:
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