Question

Determine a integral indefinida G(X) = f cos x sin³ x dx...

Answer 1

Resposta:

d) 1/4 sin⁴x

Explicação passo a passo:

Para responder a questão, precisamos resolver a integral indefinida.

Vamos utilizar a regra de integração por partes, pois há um produto na integral.

Lembrando da fórmula da integração por partes:

$\int\limitsab {u} \, dv = u.v - \int\limits {v} \, du$

A nossa integral é :

∫ sin³x.cosx.dx

Atribuindo u e dv:

u = sin³x  ---> du/dx = 3.sin²x . cossx => du = 3.sin²x . cossx . dx (derivando em relação a dx em ambos os lados)

dv = cosxdx ----> v = sin x (integrando dos dois lados)

Descobrimos u, du , v e dv, agora basta aplicar na expressão:

∫ sin³x.cosx.dx = sin³x . sin x - ∫sinx du

mas vimos que du = 3.sin²x . cossx . dx, então:

∫ sin³x.cosx.dx = sin³x . sin x - ∫sinx .3.sin²x . cossx . dx

∫ sin³x.cosx.dx = sin³x . sin x - 3∫sin³x . cossx . dx

Aqui parece que chegamos no mesmo lugar, pois a integral acabou sendo a mesma, mas isso é bom porque podemos isolar ela em um lado da equação e encontrar seu valor:

Passando a integral para o outro lado:

∫ sin³x.cosx.dx + 3 ∫ sin³x.cosx.dx = sin⁴x

4 ∫ sin³x.cosx.dx = sin⁴x

∫ sin³x.cosx.dx  = sin⁴x/4 + C

A questão disse que G(π/2) = 1/4

Aplicando π/2 em sin⁴x/4 + C para encontrar o valor de C, pois quando x = π/s o valor deverá resultar em 1/4

sin⁴ x / 4 + C = 1/4

sin⁴ (π/2) / 4 + C = 1/4

1/4 + C = 1/4

C = 1/4 - 1/4

C = 0

Então a expressão G(x) = sin⁴x/4