Matemática, perguntado por ivannaeduarda, 8 meses atrás

determine a inclinação da reta tangente ao grafico de f(x)=3x^2 no ponto p=(-1, f(-1))

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui

Resposta:

$\boxed{\bold{-6}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos derivadas.

Buscamos a inclinação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=3x^2$ no ponto $P~(-1,~f(-1))$ .

Para isso, lembre-se que a derivada de primeira ordem de um função no ponto de tangência nos dá a inclinação de sua reta tangente.

Dessa forma, derivamos a função:

$f'(x)=(3x^2)'$

Lembre-se que:

A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x)$ .
A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ .

Aplicando a propriedade da constante, teremos

$f'(x)=3\cdot (x^2)'$

Calcule a derivada da potência

$f'(x)=3\cdot 2\cdot x$

Multiplique os valores

$f'(x)=6x$

Então, sua inclinação no ponto $P~(-1,~f(-1))$ será:

$f'(-1)=6\cdot(-1)$

Multiplique os valores

$f'(-1)=-6$

Esta é a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto $P$ .

ivannaeduarda: Miitãooo obrigada! Me ajudou muito.

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a inclinação - declividade - da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau pelo ponto de tangência cuja abscissa é "3" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta \cong 99,46^{\circ}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x) = 3x^{2} \\P = (-1, f(-1))\end{cases}$

Sabemos que a inclinação - declividade - de uma reta é sempre o ângulo com o qual a reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo. Desta forma, para calcularmos a medida deste ângulo devemos calcular a medida do arco cuja tangente vale o coeficiente angular da reta, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \theta = \arctan(m_{r})\end{gathered}$}$

Sabendo que o coeficiente angular também pode ser representado como sendo o valor numérico da derivada primeira da função no ponto de abscissa "x", então, podemos reescrever a equação "I" como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \theta = \arctan(f'(x_{T}))\end{gathered}$}$