Question

Determine a imagem e o valor mínimo ou máximo da função quadrática f(X) =2x²-x-3

Answer 1

y= -2x² - x + 3 , temos a = -2; b = -1. c = 3 

1- como a = -2, a<0 então a concavidade é para baixo 

2- zeros da função, quer dizer y = 0, achar os valores de "x" 
-2x² - x + 3 = 0 
delta = b² - 4ac 
delta = (-1)² - 4*(-2)*(3) 
delta = 1 + 24 
delta = 25 
aplicando Bhaskara: x = (-b +/- Vdelta)/2a 
x = [- (-1) +/- V25]/2*(-2) 
x = (1 +/- 5)/ (-4) 

x1 = (1 + 5)/ (-4) = 6/(-4) = -3/2 
x2 = (1 - 5)/ (-4) = (-4)/(-4) = 1 
então, os zeros da função são: -3/2 e 1 

3- Vértice (xv, yv) onde xv = -b/2a e yv = -delta/4a 

xv = -(-1)/2*(-2) = 1/(-4) = -1/4 
yv = -25/4*(-2) = -25/-8 = 25/8 

4 - detalhei no final de todos os tópicos 

5 - intersecção com eixo x, é só fazer y=o ou seja os zeros da função, que são 
(-3/2,0) e (1,0) 

6 - intersecção com eixo y, é só fazer x = 0 
y = -2*0² - 0 + 3 ==> y = 3 é o ponto (0,3) 

7 - eixo de simetria, está no vértice da parábola, ou seja no ponto (-1/4; 25/8) 

8 - conjunto imagem da função (valores de y) 
notar que parábola voltada para baixo, então o vértice é o ponto máx da função, logo os valores de y são menores ou igual ao vértice (yv) 

Im(x) = {y pertence a R/ y=< 25/8} 

4 - esboço do gráfico é só traçar a parábola com os pontos calculados nos itens anteriores, sabendo que: 
- parábola voltada para baixo 
- ptos que cortam eixo x (-3/2,0) e (1,0) 
- pto que corta eixo y (0,3) 
- vértice da parábola é o pto máx da função: ( -1/4, 25/8)