Question

determine a função y= y(x), x pertence ao reais tal que: a) dy/dx = x^3 - x + 1 e y(1) =1, b) dy/dx= cos x e y(0) = 0 , c) x^3 - x +1 e y(1) = 1

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre EDO, concluímos que as funções reais são a)  $y=\dfrac{x^{4}}{4} -\dfrac{x^{2}}{2} +x+\dfrac{1}{4}$   e b)   $y=\sin x$

a)    Se  dy/dx = x³ - x + 1, então

$\begin{array}{l} \displaystyle y=\int dy/dx\ dx=\int x^{3} -x+1\ dx\\ \\ \ \ =\dfrac{x^{4}}{4} -\dfrac{x^{2}}{2} +x+c \end{array}$

➜   Como  $y(1)=1$  , então

$\begin{array}{l} y( 1) =\dfrac{( 1)^{4}}{4} -\dfrac{( 1)^{2}}{2} +( 1) +c=1\Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow c=1-\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} -1=\dfrac{1}{4} \end{array}$

∴   A função procurada é  $y=\dfrac{x^{4}}{4} -\dfrac{x^{2}}{2} +x+\dfrac{1}{4}$

b)    Se dy/dx = cosx, então

$\displaystyle y=\int dy/dx\ dx=\int \cos x\ dx=\sin x+c$

➜   Como  $y(0)=0$  , então

$y( 0) =\sin( 0) +c=0\Longrightarrow c=0$

∴   A função procurada é  $y=\sin x$

Obs:   A alínea c é igual à a

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