Matemática, perguntado por claudiosantosmachado, 4 meses atrás

Determine a função y = f(x) sabendo que f’(x) = 3x^2−x+2 e f(0) = 3.

Soluções para a tarefa

Respondido por felipesxavier75
2

Olá

Ora, se integralizarmos a derivada, encontraremos a função inicial. Apenas vamos desfazer a derivação.

f'(X) = 3X² - X + 2

A integral de 3X² é X³/3

A integral de -X é -X²/2

A integral de 2 é 2X

Não se pode esquecer a constante C!!!

f(X) = X³/3 - X²/2 + 2X + C

Aplicando os valores informados... Dica: O termo independente numa equação de uma variavel será sempre igual ao valor informado SE está variável for igualada a zero!

3 = 0³/3 - 0²/2 + 2(0) + C

C = 3

Logo: f(X) = X³/3 - X²/2 + 2X + 3

Abraços


claudiosantosmachado: Vc pode me tirar uma dúvida, por favor?
felipesxavier75: Sim
claudiosantosmachado: Pq o resultado não pode ser Logo: f(X) = X³ - X²/2 + 2X + 3 ?
felipesxavier75: Pode sim, é que fiz passo-a-passo
Respondido por Kin07
7

Com os cálculos finalizado podemos afirmar que antiderivada (ou primitiva) de uma função f é:

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ f(x ) =  x^{3} - \dfrac{x^{2} }{2} + 2x + 3    } $ }

Uma função f' é dita antiderivada (ou primitiva) de uma função f sobre um conjunto de números I se \boldsymbol{ \textstyle \sf f' (x ) = f(x)  }x em I.

Se f é uma função derivável em I, então uma primitiva de f' é  f, assim:

\large \boldsymbol{  \displaystyle \sf \int f' ( x ) dx  =  f( x ) + C }

Conclusão: Para qualquer  \large \boldsymbol{ \textstyle \sf  n \neq - 1 }

\large \boldsymbol{  \displaystyle \sf \int x^n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}   }

Dados fornecidos pelo enunciado:

\large \displaystyle \sf   \begin{cases}\sf  y = f( x)     \\ \sf f'(x) = 3x^{2} -x + 2  \\ \sf f(0) = 3 \end{cases}

Fazendo a integração da derivada, temos:

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \int f' ( x ) dx  =  f( x ) + C   } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \int (3x^{2} -x + 2)dx  = 3 \int x^{2} dx - \int x dx   +2  \int dx  + C   } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \int (3x^{2} -x + 2)dx  = 3 \cdot \dfrac{x^{2+1}}{2 +1}   - \dfrac{x^{1+1}}{1+1}    +2 \cdot \dfrac{x^{0+1}}{0+1}   + C   } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ \int (3x^{2} -x + 2)dx  = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3}   - \dfrac{x^{2}}{2}    +2 \cdot \dfrac{x^1}{1}   + C   } $ }

\large \boldsymbol{  \displaystyle \sf   \int (3x^{2} -x + 2)dx  = x^{3} - \dfrac{x^{2} }{2} + 2x + C  }

Logo:

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  y = f(x)    } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ f(x ) =   x^{3} - \dfrac{x^{2} }{2} + 2x + C   } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ f(0  ) =   0^{3} - \dfrac{0^{2} }{2} + 2 \cdot 0 + C   } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  3 =   0 - \dfrac{0 }{2} + 0 + C   } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 3  =   0 - 0 + 0 + C  } $ }

\large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  C = 3  } $ }

Portanto a antiderivada (ou primitiva) de uma função f é:

\large \boxed{ \boxed{  \boldsymbol{  \displaystyle  \text  {$ \sf f( x ) = x^{3} - \dfrac{x^2}{2} +2x + 3    $   }   }} }

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/13294293

https://brainly.com.br/tarefa/18745972

https://brainly.com.br/tarefa/24942808

Anexos:
Perguntas interessantes