Determine a função f que satisfaz as condições dadas.
f''(x)=6x+sin(x)+3e^x
f'(0)=2
f(0)=3
1. Determine a função f′(x)
2. Determine a função f(x).
Soluções para a tarefa
Utilizando integração indefinida, temos que:
1. Determine a função f′(x).
f'(x) = 3x² - cos(x) + 3e^x
2. Determine a função f(x).
f(x) = x³ - sen(x) + 3e^x
Explicação passo-a-passo:
Então temos a seguinte segunda derivada:
f''(x) = 6x + sin(x) + 3e^x
Vamos integra-la indefinidamente termo a termo para acharmos a primeira derivada:
f'(x) = 6(x²/2) - cos(x) + 3e^x + C
Simplificando
f'(x) = 3x² - cos(x) + 3e^x + C
Para descobrirmos C, que é a constante de integração, basta substituirmos x por 0 e f(x) por 2, pois sabemos que f'(0)=2:
f'(x) = 3x² - cos(x) + 3e^x + C
2 = 3.0² - cos(0) + 3e^0 + C
2 = - 1 + 3 + C
2 = 2 + C
C = 2 - 2
C = 0
Assim temos que nossa primeira derivada é:
f'(x) = 3x² - cos(x) + 3e^x
Agora novamente vamos integrar termo a termo indefinidamente:
f(x) = 3(x³/3) - sen(x) + 3e^x + C
f(x) = x³ - sen(x) + 3e^x + C
E mais uma vez vamos substituir x por 0 e f por 3, pois f(0)=3:
f(x) = x³ - sen(x) + 3e^x + C
3 = 0³ - sen(0) + 3e^0 + C
3 = 0 - 0 + 3 + C
C = 3 - 3
C = 0
Assim nossa função fica:
f(x) = x³ - sen(x) + 3e^x
E com isso temos nossas primitivas e derivada primeira:
1. Determine a função f′(x).
f'(x) = 3x² - cos(x) + 3e^x
2. Determine a função f(x).
f(x) = x³ - sen(x) + 3e^x