Question

Determine a função do 2° grau, cujo gráfico é a parábola que passa pelo ponto(1,0) e possui vértice (3/2, -1).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Laura, que a resolução é simples, embora dê um pouquinho de trabalho.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Pede-se para determinar a função do 2º grau cujo gráfico é a parábola que passa pelo ponto P(1; 0) e cujo vértice está no ponto V(3/2; -1).

i) Note que a equação do segundo grau é aquela da forma: y = ax² + bx + c.
Se a parábola dessa função passa no ponto P(1; 0) isso significa que quando "x" for igual a "1", então "y" será igual a zero.
Assim,, substituindo-se "x" por "1" e "y" por zero na função acima, teremos:

0 = a*1² + b*1 + c
0 = a*1 + b*1 + c --- ou apenas:
0 = a + b + c ---- vamos apenas inverter, ficando:
a + b + c = 0      . (I)

ii) Como o ponto do vértice é V(3;2; -1), então veja isto: os pontos do vértice da parábola de uma função do 2º grau são dados pelas coordenadas do vértice (xv; yv), cujas fórmulas para o cálculo de cada um deles são estas:

ii.1) Cálculo do "x" do vértice (xv):

xv = -b/2a ----- como o "x" do vértice é igual a "3/2", então teremos:
3/2 = -b/2a ----- multiplicando-se em cruz, teremos;
3*2a = 2*(-b)
6a = - 2b  ---- isolando "a", teremos:
a = - 2b/6 ----- simplificando tudo por "2", ficaremos apenas com:
a = - b/3        . (II)

ii.2) Cálculo do "y" do vértice (yv)

yv = - Δ/4a ----- sendo Δ = b²-4ac). Assim:
yv = - (b²-4ac)/4a ----- como o "y" do vértice é igual a "-1", teremos:
-1 = - (b²-4ac)/4a ---- multiplicando em cruz, teremos:
4a*(-1) = - (b² - 4ac) ----- efetuando o produto indicado, teremos:
-4a = - (b² - 4ac) ---- vamos retirar os parênteses do 2º membro, ficando:
- 4a = - b² + 4ac ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

4a = b² - 4ac ----- passando "-4ac" para o 1º membro, teremos;
4a + 4ac = b² ---- colocando-se "4a" em evidência, teremos:
4a*(1+c) = b²  --- isolando "a", ficaremos com:
a = b² / 4*(1+c)       . (III)

iii) Agora veja: como as expressões (II) e (III) dão o valor de "a" em função de outras variáveis, então vamos igualar essas duas expressões, pois ambas dão o valor de "a". Fazendo isso, teremos:

-b/3 = b²/4*(1+c) ---- multiplicando em cruz, teremos:
-b*4*(1+c) = 3*b² --- ou apenas:
-4b*(1+c) = 3b² --- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
-4b - 4bc = 3b² ---- passando "-4b" para o 2º membro:
- 4bc = 3b² + 4b --- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando:

4bc = - 3b² - 4b ----- isolando "c", teremos;
c = (-3b² - 4b)/4b  ---- simplificando-se numerador e denominador por "b", iremos ficar apenas com:

c = (-3b - 4)/4    . (IV)

iv) Agora veja: já temos os valores de "a' em função de "b" [vide expressão (II)] e já temos o valor de "c" também em função de "b" [vide expressão (IV)]. .Então vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos os valores de "a" e de "c" que estão em função de "b".
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

a + b + c = 0 ---- substituindo-se "a" por "-b/3" [conforme a expressão (II)] e substituindo-se "c"  por : "(-3b - 4)/4" [conforme a expressão (IV)], ficaremos assim:

(-b/3) + b + (-3b-4)/4 = 0  ---- mmc entre 3 e 4 = 12.Assim, utilizando-o, teremos {lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[4*(-b) + 12*b + 3*(-3b-4)]/12 = 0 ---- efetuando os produtos indicados:
[ - 4b + 12b + (-9b-12)]/12 = 0  --- ou apenas:
[-4b + 12b - 9b - 12]/12 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
[-b - 12]/12 = 0 ----- multiplicando-se em cruz:
- b - 12 = 12*0
- b - 12 = 0
- b = 12 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", fidaremos:
b = - 12 <----- Este será o valor de "b".

v) Agora vamos encontrar os valores de "a" e de "c". Para isso, iremos nas expressões (II) e (IV). Assim:

v.1) Encontrando o valor de "a" a partir da expressão (II), que é esta:

a = -b/3 ---- substituindo-se "b" por "-12", teremos;
a = - (-12)/3 --- ou apenas (vide que menos com menos dá mais):
a = 12/3
a =  4 <--- Este será o valor de "a".

v.2) Encontrando o valor de "c" a partir da expressão (IV), que é esta:

c = (-3b - 4)/4 ----- substituindo-se "b" por "-12", teremos:
c = (-3*(-12) - 4)/4
c = (36 - 4)/4
c = (32)/4 ---- ou apenas:
c =  32/4
c = 8 <--- Este será o valor de "c".

vi) Assim, como já vimos, temos que a = 4; b = -12; e c = 8.
Então vamos substituir na nossa função do 2º grau que era esta:

y = ax² + bx + c---- fazendo as devidas substituições, teremos:

y = 4x² - 12x + 8 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação do 2º grau pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.