Question

Determine a fração que representa a dízima periódica 3.212121

Answer 1

Ok, temos a dízima 3,21212121.... Podemos escrever isso como, (3 + 0,212121...), ok?

Vamos definir X = 0,21212121... e trabalhar com isso. Caso multipliquemos o X por 100, obteremos 100X = 21,21212121....

Agora se pegar 100X e subtrairmos o próprio X, ficaremos com a seguinte expressão

100X - X = 21,21212121.... - 0,21212121...

Perceba que a parte decimal irá zerar, então ficarmos com

99X = 21

Agora basta isolar o X

X = 21 / 99

Simplificando por 3, obtemos

X = 7 / 33 = 0,21212121...

Agora voltamos ao número inicial (3,212121...), como dito anteriormente, ele pode ser escrito como 3 + 0,212121..., entretanto, agora sabemos que 0,21212121... = 7/33, então vamos substituir. Logo ficamos com: 3 + 7/33. Agora basta realizar o MMC

$\frac{33 * 3 + 7}{33} = \frac{106}{33}$

Logo, concluímos que 3,212121... = 106/33

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