Question

Determine a excentricidade da conica x2+9y2-6x-18y-9=0

Answer 1

A excentricidade da cônica é $e=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Primeiramente, vamos descobrir qual é a cônica representada pela equação x² + 9y² - 6x - 18y - 9 = 0.

Para isso, precisamos completar quadrado:

x² - 6x + 9 + 9(y² - 2y + 1) = 9 + 9 + 9

(x - 3)² + 9(y - 1)² = 27

$\frac{(x-3)^2}{27}+\frac{(y-1)^2}{3}=1$.

Temos aqui uma elipse centrada em (3,1), com a² = 27 e b² = 3.

A excentricidade da elipse é dada por e = c/a.

Para calcularmos o valor de c, utilizamos a seguinte relação:

b² = a² - c².

Logo,

3 = 27 - c²

c² = 27 - 3

c² = 24

c = 2√6.

É válido lembrar que se a² = 27, então a = 3√3. Portanto, a excentricidade será

$e=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$

$e=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.