Question

Determine a equação reduzida da circunferência com diâmetro com extremidades A(3,3) e B (-5,-1)

Answer 1

A equação reduzida da circunferência é dada na seguinte forma:

$(x-a)^2+(y-b)^2~=~r^2$

Onde o ponto (a , b) é o centro da circunferência e "r" o raio.

O enunciado nos fornece dois pontos, A e B, e nos garante que estes pontos, além de pertencerem a circunferência, são as extremidades do seu diâmetro.

Como vimos na equação da circunferência, precisamos do valor do raio. Sabemos que o raio é a metade do diâmetro, portanto podemos determinar o raio:

$Raio~=~\frac{1}{2}~.~Distancia_{\,A,B}\\\\\\Raio~=~\frac{1}{2}~.~\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\\\\\Raio~=~\frac{1}{2}~.~\sqrt{(3-(-5))^2+(3-(-1))^2}\\\\\\Raio~=~\frac{1}{2}~.~\sqrt{(8)^2+(4)^2}\\\\\\Raio~=~\frac{1}{2}~.~\sqrt{80}\\\\\\Raio~=~\frac{1}{2}~.~4\sqrt{5}\\\\\\\boxed{Raio~=~2\sqrt{5}}$

Precisamos também do centro da circunferência. Sabemos que o centro da circunferência deve coincidir com o ponto médio do diâmetro, logo:

$Centro~=~Ponto~Medio~de~\overline{AB}\\\\\\Centro~=~\left(\frac{x_A+x_B}{2}~,~\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\\\\\Centro~=~\left(\frac{3+(-5)}{2}~,~\frac{3+(-1)}{2}\right)\\\\\\Centro~=~\left(\frac{-2}{2}~,~\frac{2}{2}\right)\\\\\\\boxed{Centro~=~\left(-1~,~1\right)}$

Por fim, substituindo os dados na equação da circunferência:

$(x-a)^2+(y-b)^2~=~r^2\\\\\\(x-(-1))^2+(y-1)^2~=~\left(\,2\sqrt{5}\,\right)^2\\\\\\\boxed{(x+1)^2+(y-1)^2~=~\left(\,2\sqrt{5}\,\right)^2}$