Question

Determine a equação geral do plano que contêm o ponto A(3,0,1) e é paralelo aos vetores =(1,2,0) e =(0,3,1)

Answer 1

Olá

A = (3,0,1)
$\vec{u}=(1,2,0) \\ \vec{v}=(0,3,1)$


Temos 2 vetores, então temos que calcular o produto vetorial entre eles, e irá resultar um vetor ortogonal a ambos, com isso poderemos usá-lo como vetor normal do plano que iremos criar.

$\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v} \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&0\\0&3&1\end{array}\right] \\ \\ \\ (2\vec{i}+3\vec{k})-(\vec{j}) \\ \\ 2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} \\ \\ \boxed{\vec{w}=(2,-1,3)}$


Criando o plano com o vetor encontrado

$2x-y+3z+d=0 \\ \\ \text{Substitui o ponto "A" para encontrar o parametro "d"} \\ \\ 2(3)-(0)+3(1)+d=0 \\ \\ 6+3+d=0 \\ \\ \boxed{d=-9} \\ \\ \text{Portando a equacao do plano fica sendo} \\ \\ \boxed{\boxed{2x-y+3z-9=0}}$

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano procurado é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x - y + 3z - 9 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} A(3, 0, 1)\\\vec{u} = (1, 2, 0)\\\vec{v} = (0, 3, 1)\end{cases}$

Para determinar a equação geral do plano, além de utilizarmos a seguinte equação:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Devemos ter o vetor normal "n" ao plano e um ponto qualquer pertencente ao plano - que, neste caso, será o ponto "A" - ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                      $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\\A(X_{A}, Y_{A}, Z_{A})\end{cases}$

A partir de agora devemos:

• Calcular o vetor normal "n".

        Para isso devemos calcular o produto vetorial dos vetores diretores, ou seja:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \vec{u}\wedge\vec{v}\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & 2 & 0\\0 & 3 & 1\end{vmatrix}\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix}2 & 0\\ 3 & 1\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & 2\\0 & 3 \end{vmatrix}\vec{k}\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2 - 0)\vec{i} - (1 - 0)\vec{j} + (3 - 0)\vec{k}\end{gathered}$    

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, -1, 3)\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (2, -1, 3)\end{gathered}$

• Montar a equação geral do plano "π".

        Para isso devemos substituir tanto as coordenadas do vetor normal "n" quanto as coordenadas do ponto "A" na equação "I", ou seja:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + (-1)\cdot y + 3\cdot z = 2\cdot3 + (-1)\cdot0 + 3\cdot1\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - y + 3z = 6 - 0 + 3\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - y + 3z = 9\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - y + 3z - 9 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: 2x - y + 3z - 9 = 0 \end{gathered}$

         

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Solução gráfica: