Question

Calcular o número de algarismo necessários para escrever os números de 1, 2, 3 ... n algarismos.

Answer 1

Vou considerar esse "n" da questão como "x" para não me perder nos cálculos. No final substituo de volta.

Sendo que aqui "n" será o número de termos, "r" será a razão da PA e "q" será a razão da PG.

$\mathsf{\underbrace{\overbrace{1,2,3,4,5,6,7,8,9}^{r=1}}_{n=9},\underbrace{\overbrace{10,11,12,13,14,15\cdots99}^{r=2}}_{n=90},\underbrace{\overbrace{100,101,102\cdots997,998,999}^{r=3}}_{n=900},\cdots}$

Observe que "n" obedece a razão q = 10.

Repare também que nesse caso, para obtermos o número de termos acima, subtraímos o termo inicial do termo final e somamos 1. Exemplo:

$\mathsf{(9-1)+1\Rightarrow9}\\\\\mathsf{(99-10)+1\Rightarrow90}$

Comprimindo essa sequência, obtemos:

$\mathsf{9\cdot1+90\cdot2+900\cdot3\cdots}$

A sequência acima deve-se entender como:
9 números de 1 algarismo, 90 números de 2 algarismos, 900 números de 3 algarismos, e assim por diante, sendo que a soma dessa sequência seria a quantidade total de algarismos.

Reescrevendo essa mesma sequência de uma outra forma:

$\mathsf{9\cdot10^{1-1}\cdot1+9\cdot10^{2-1}\cdot2+9\cdot10^{3-1}\cdot3\cdots}$

Observe que essa sequência obedece um padrão, que seria:

$\mathsf{9\cdot10^{x-1}\cdot x}$

E como dito anteriormente, irei substituir de volta o x por n, ficando:

$\boxed{\mathsf{9\cdot10^{n-1}\cdot n}}$

Apenas por curiosidade, colocarei aqui o que eu achei antes.

Voltando à sequência:

$\mathsf{9\cdot10^{1-1}\cdot1+9\cdot10^{2-1}\cdot2+9\cdot10^{3-1}\cdot3+\cdots+9\cdot10^{n-1}\cdot n}$

Deixando esse somatório em uma forma mais compacta, fica:

$\sum_{n=1}^{\infty}9\cdot10^{n-1}\cdot n$

Essa soma seria a quantidade de algarismos utilizados para representar os número de 1 a n.