Question

Determine a equação geral da circunferência de centro ( 1,5 ) e raio de 2?
Quanto mede o raio da circunferência descrita pela equação x²+y²-4x+2y-4=0
A equação de uma circunferência (x-3)²+(y+4)²=36. Mostrar que o ponto (2; -5) se encontra no interior da circunferência e o ponto P (-4;1) no exterior.
Uma equação da circunferência tem diâmetro cujos extremos são A(2;3) e B (-4;5). Encontre equação da circunferência.
Verifique se a posição relativa da reta s: 2x+y+2=0 à circunferência de equação (x-1)²+(y-1)²=5.
São dadas a reta R, de equação 2x+y-1=0, e a circunferência de equação x²+y²+6x-8y=0. Qual é a posição da reta R em relação à circunferência?

Answer 1

1) Primeiro problema:

A equação da circunferência é:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$

Substuindo, obtém-se:

$(x-1)^2+(y-5)^2=2^2$

$x^2-2x+1+y^2-10y+25=4$

$x^2+y^2-2x-10y+1+25-4=0$

$x^2+y^2-2x-10y+22=0$

2) Segundo problema:

$x^2+y^2-4x+2y-4=0$

Eu particularmente prefiro retornar a equação à forma original, como coloquei lá em cima, para achar centro e raio. Prefiro fazer isso sem o uso de fórmulas que acho demorado. Faço apenas olhando para os coeficientes de x e y e tendo conhecimento de produtos notáveis.

$(x-2)^2+(y+1)^2=3^2$

O raio mede 3.

De qualquer forma, Xc e Yc assumem valores iguais à metade dos coeficientes de X e Y, respectivamente. O raio é preciso calcular separadamente.

3) Terceiro problema:

Para saber se um ponto se encontra no interior ou exterior de uma circunferência basta comparar a distância entre esse ponto e o centro da circunferência com o comprimento do raio.

Quando é interior:
$d<R$

Quando é exterior:
$d>R$

Quando pertence à circunferência:
$d=R$

Analisando a equação da circunferência é possível ver que o centro é (3, -4) e seu raio é 6.

Calculando a distância do centro ao ponto (2, -5):

$d^2=(3-2)^2+(-4+5)^2$

$d^2=1^2+1^2$

$d^2=2$

$d=\sqrt{2}$

$\sqrt{2}<6$

Percebendo que d < R, esse ponto é interior à circunferência.

Calculando a distância do centro ao ponto (-4, 1):

$d^2=(3+4)^2+(-4-1)^2$

$d^2=7^2+(-5)^2$

$d^2=49+25$

$d^2=74$

$d=\sqrt{74}$

$\sqrt{74}>6$

Percebendo que d > R, esse ponto é exterior à circunferência.

5) Quinto problema:

Sabendo que o ponto médio do diâmetro da circunferência é o seu centro, basta calcular o ponto médio do segmento AB.

Para x:

$x_M=\frac{x_1+x_2}{2}$

$x_M=\frac{2-4}{2}$

$x_M=-1$

Para y:

$y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$

$y_M=\frac{3+5}{2}$

$y_M=4$

Então, as coordenadas do centro da circunferência é (-1, 4).

Agora para calcular o raio só é preciso calcular a distância do centro a qualquer um dos extremos do diâmetro (A ou B).

Calculando a distância do centro ao ponto A:

$d^2=(-1-2)^2+(4-3)^2$

$d^2=(-3)^2+1^2$

$d^2=9+1$

$d^2=10$

$d=\sqrt{10}$

Assim, o raio vale $\sqrt{10}$

Agora montando a equação da circunferência:

$(x+1)^2+(y-4)^2=(\sqrt{10})^2$

$x^2+2x+1+y^2-8y+16=10$

$x^2+y^2+2x-8y+1+16-10=0$

$x^2+y^2+2x-8y+7=0$

6) Sexto problema:
Há duas formas de verificar a posição relativa de uma reta a uma determinada circunferência.

A primeira seria usar a fórmula de distância entre ponto e reta, calculando a distância entre o centro da circunferência e a reta, depois comparando essa distância com o raio da circunferência, assim verificando se ela é secante, exterior ou tangente.

A segunda forma seria isolar o y da reta e jogar esse valor na equação da circunferência, em seguida calculando o valor do $\Delta$. Sendo que:

$\Delta>0$ é secante.

$\Delta<0$ é exterior.

$\Delta=0$ é tangente.

Eu prefiro a primeira forma, pois dá menos trabalho e é mais rápido.

A fórmula da distância entre ponto e reta é:

$d=\frac{A\cdot x+B\cdot y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Sendo que x e y são as coordenadas do ponto (nesse caso, o centro da circunferência) e A, B e C são os coeficientes da equação geral da reta, lembrando que ela é assim:

$Ax+By+C=0$

Tente não confundir o x e y da equação geral da reta com o x e y da distância entre ponto e reta, pois isso é comum ocorrer.

Agora calculando a distância:

$d=\frac{2\cdot1+1\cdot1+2}{\sqrt{2^2+1^2}}$

$d=\frac{5}{\sqrt{5}}$

$d=\sqrt{5}$

Lembrando que o raio da circunferência é $\sqrt{5}$ e não 5. Atente a isso também.

Então, reparando que d = R, ou seja, a distância entre o centro e a reta e o raio são iguais, a reta é tangente.

6) Sexto problema:

Antes de tudo vamos retornar a equação da circunferência à sua forma simplificada:

$x^2+y^2+6x-8y=0\rightarrow(x+3)^2+(y-4)^2=5^2$

Calculando a distância entre ponto e reta:

(lembrando que a equação geral da reta dessa questão é 2x+y-1=0)

$d=\frac{2\cdot(-3)+1\cdot4-1}{\sqrt{2^2+1^2}}$

$d=\frac{-3}{\sqrt{5}}$

Racionalizando:

$\frac{-3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$-\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Aproximando $\sqrt{5}$ para 2,25, a expressão acima vale aproximadamente 1,35.

Perceba agora que 1,35 (distância entre o centro da circunferência e a reta) é menor que 5 (raio da circunferência), verificando assim em uma reta secante.

Answer 2

Resposta:

Tudo corrigido pela minha professora e classrom

Explicação passo-a-passo: