Question

determine a equação das tetas tangentes às seguintes curvas , no ponto indicado :

a) f(X) = x² - 2x + 1; X= 2
b) f(X) = x² - X+4; X = -3​

Answer 1

Resposta:

a) y = 2x - 3          b) y = - 7x - 5

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Equação reduzida de uma reta

É do tipo:

y = ax + b   com a; b ∈ |R

a = coeficiente angular

Quando se procura uma reta tangente a uma curva, o modo de calcular o

coeficiente angular, também denominado declive da reta em relação ao

eixo x, é através da primeira derivada da função do 2º grau

a)

f '(x) =( x² - 2x + 1 ) '

f'(x) = 2 x - 2

Para o ponto de coordenada em x = 2 , f'(2) vai-nos dar o declive

( coeficiente angular ) da reta tangente à parábola nesse ponto

f '(2) = 2 * 2 - 2 = 2

A reta tangente está parcialmente determinada

y = 2x + b

Para encontrar o valor de "b" , preciso das coordenadas de um ponto da

reta.

O ponto de tangência pertence à parábola e à reta tangente,

Vou calcular a coordenada em y, na parábola, quando x = 2

f (2) = (2)² - 2 * 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1

Ponto de tangência  ( 2 ; 1 )

Substituindo estas coordenadas na equação da reta tangente, vai obter-se

o valor de "b".

1 = 2 *  2 + b

1 - 4 = b

- 3 = b

A reta tangente no ponto ( 2 ; 1 ) da parábola é:

y = 2x - 3     ( ver gráfico em anexo 1 )

b)

f(x) = x² - x + 4       ponto de tangência com coordenada em x = - 3

O procedimento vai ser análogo ao de a)

f'(x) = ( x² - x + 4 ) '

f '(x) = 2x - 1

f '( - 3 ) = 2 * ( - 3 ) -1 = - 6 - 1 = - 7

O declive ( coeficiente angular ) da reta tangente à parábola no ponto de coordenada em x = - 3 , é   a = - 7

Reta tangente parcialmente calculada

y = - 7 x + b    ( 1 )

Cálculo do ponto de tangência , usando a equação da parábola.

f ( - 3 ) = ( - 3 )²- (- 3 ) + 4 = 9 + 3 + 4 = 16

Ponto de tangência ( - 3 ; 16 )

Com estas coordenadas vou calcular o valor de "b" na reta tangente

16 = - 7 * ( - 3 ) + b

16  = 21 + b

16 - 21 = b

- 5 = b

Expressão completa da equação da reta tangente

( pegando em (1) )

y = - 7x - 5      ( ver gráfico em anexo 2 )

-----------------------

Regras de derivação:

Derivada de uma potência:

$(x^{n} )' = n*x^{n-1} *(x)'$

Derivada de o produto de uma constante , por x

$(a*x) '= a$

Derivada de uma constante

$(k)' = 0$

com k ∈ |R

Bons estudos.

-----------------------------

Símbolos: ( ' )  sinal de primeira derivada      ( * ) multiplicação  

( T ) ponto de tangência