Question

Determine a equação da reta tangente em (p,f(p)), sendo dados

a) $f(x)=x^2-\sqrt{x}$ e $p=1$

Answer 1

Resposta:

$\displaystyle y=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}$

Explicação passo a passo:

A reta tem que ser tangente ao ponto P(p,f(p)).

Para p = 1, ou seja, P(1, f(1));

Substituindo x=1 em f(x) = x²-√x:

f(1)=1²-√1=1-1=0

∴ A reta tem que ser tangente ao ponto P(1,0)

Precisamos achar o coeficiente angular da reta tangente no ponto P, ou seja, m = f'(xP) = f'(1).

$\displaystyle f(x) = x^2-\sqrt{x} = x^2-x^{\frac{1}{2} }$

Derivando f(x) teremos:

$\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{2}.x^{(\frac{1}{2}-1)}\\\\f'(x) = 2x-\frac{1}{2}.x^{-\frac{1}{2}}=2x-\frac{1}{2.x^{\frac{1}{2}}}=2x-\frac{1}{2\sqrt{x} }}$

Para x = 1:

$\displaystyle f'(1)=2.1-\frac{1}{2\sqrt{1} }}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Utilizando:

y-yP = m(x-xP)

y-0=3(x-1)/2

$\displaystyle y-0=\frac{3(x-1)}{2} \\\\y=\frac{3(x-1)}{2}\\\\y=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}$

No gráfico podemos observar que essa reta (em preto) tangencia f(x) (em verde) exatamento no ponto P(1,0)