Question

Determine a equação da reta tangente e da reta normal da função f(x)=x³+x no ponto (1,2).

Answer 1

Resposta:

Reta tangente:  y-y0 = m.(x-x0)        

                           y - 2 = 4.(x-1)

                           y - 2 = 4x - 4

                           y = 4x -4+2

                           y = 4x -2 (resposta)

Reta normal:  y-y0 = m.(x-x0)

                      y - 2 = -1/4 .(x - 1)

                      y - 2 = -1x/4 + 1/4

                      y = -x/4 +1/4 +2    

                      y = -x + 1 + 8/4

                      y = -x + 9/4 (resposta)

Explicação passo a passo:

1- Equação da reta tangente:

Primeiramente teremos que achar o coeficiente angular da reta.

Sabemos que o coeficiente da reta tangente é igual a derivada de f(x), sendo assim:

m = 3x^2 + 1          (lembrando: a derivada da soma é igual a derivada da                                    

                             soma).  

Agora,teremos que substituir o x da equação do coeficiente da reta tangente.

O enunciado diz que o ponto é (1,2), então:

m = 3x^2 + 1

m = 3 . 1^2 + 1

m = 4

Feito, podemos prosseguir para a equação da reta tangente:

y-y0 = m.(x-x0)         (x0 é o x inicial; y0 é o y inicial)

y - 2 = 4.(x-1)

y - 2 = 4x - 4

y = 4x -4+2

y = 4x -2 (resposta)

2- Equação da reta normal

Faremos o mesmo procedimento de anteriormente, só que o coeficiente angular da reta é normal é igual a:

Mn = -1/mtg´        ( Mn é da reta normal; mtg é a reta tangente)

Fazendo a derivação de mtg:

m = 3x^2 + 1

Substituindo o x do ponto:

m = 4

Então, O Mn é igual a:

Mn = -1/4          

Agora, podemos prosseguir para a reta tangente normal:

y-y0 = m.(x-x0)

y - 2 = -1/4 .(x - 1)

y - 2 = -1x/4 + 1/4

y = -x/4 +1/4 +2     ( fazendo o mmc temos -x + 1 + 8/4 )

y = -x + 1 + 8/4

y = -x + 9/4 (resposta)

Espero ter ajudado.