Question

determine a equação da reta tangente ao grafico de f(x)=1/x no ponto da abscissa 2

Answer 1

A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa $x_{0}$ é

$\boxed{\boxed{y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}}$

Onde $(x_{0},f(x_{0}))$ é o ponto onde a reta tangencia o gráfico da função e $f'(x_{0})$ é a derivada de $f$ avaliada em $x_{0}$, i.e, a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $(x_{0},f(x_{0}))$
______________________________

$f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$

$\bullet$ Achando $f(2)$:

$f(x)=\dfrac{1}{2}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{f(2)=\dfrac{1}{2}}}$

$\bullet$ Achando $f'(x)$:

$f(x)=x^{-1}~~~\therefore~~~f'(x)=(-1)x^{-1-1}=-x^{-2}\\\\\\\boxed{\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}}}$

$\bullet$ Achando a inclinação da reta tangente ao gráfico quando $x=2$:

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}~~\therefore~~f'(2)=-\dfrac{1}{2^{2}}~~\therefore~~\boxed{\boxed{f'(2)=-\dfrac{1}{4}}}$

Então, a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(2,\frac{1}{2})$ é

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})\\\\y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)\\\\u=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{2}{4}\\\\y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{y=-\frac{1}{4}x+1}}$