Question

Determine a equação da reta tangente à curva y = x² + 5 no ponto x = - 2

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

Para x = 2:

y = (-2)² + 5 = 9

Então deseja-se saber a reta tangente a y=x²+5 no ponto (-2,9).

Para determinar a reta tangente, recorre-se a equação geral da reta que é:

Y - Yo = m (X - Xo)

onde Xo = -2 e Y = 9

m é o coeficiente angular da reta tangente. Esse coeficiente é obtido através da derivada de y em relação a x.

Para derivar a função acima, usa-se a seguinte regra de derivação:

$y = {x}^{n} + k \\ \\ \\ y^{. } = (n)x ^{n - 1} + 0$

Logo:

y' = 2x²-¹ + 0

y' = 2x

O coeficiente angular da reta no ponto x = -2 é substituir x por -2 em y'.

y' = m = 2(-2) = -4

Ou seja, -4 é o coeficiente angular da reta tangente a y=x²+5.

A equação dessa reta então será:

Y - Yo = m (X - Xo)

y - 9 = -4 (x - (-2))

y - 9 = -4 (x +2)

y = -4x -8 + 9

y = -4x +1

Logo y = -4x +1 é a reta tangente a y = x² + 5 no ponto x=-2.

Answer 2

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -4x + 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} y = x^{2} + 5\\x = -2\end{cases}$

Observe que:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Determinar as coordenadas do ponto de tangência "T" entre as curvas. Para isso, fazemos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} T = (X_{T},\,Y_{T})\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[x,\,f(x)\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[-2,\,(-2)^{2} + 5\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[-2,\,4 + 5\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[-2,\,9\right]\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:T(-2, 9)\end{gathered}$

• Calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (x^{2} - 3x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot(-2)^{2 - 1} + 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot(-2)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -4\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = -4\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 9 = -4\cdot(x - (-2))\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 9 = -4x - 8\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -4x - 8 + 9\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -4x + 1\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = -4x + 1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$