Question

Determine a equação da reta tangente a curva y= x² - 3x, no seu ponto de abscissa4.

Answer 1

para x = 4
y = 4² - 3*4 = 4
portanto a reta passa em (4,4)
para descobrir a inclinação, calculamos a derivada da curva para x = 4
y' = 2x - 3
m = 2*4 - 3 = 5
(y-4)/(x-4) = 5
y = 5x -16 (resp)

Answer 2

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 5x - 16\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} y = x^{2} - 3x\\x = 4\end{cases}$

Observe que:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Determinar as coordenadas do ponto de tangência "T" entre as curvas. Para isso, fazemos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} T = (X_{T},\,Y_{T})\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[x,\,f(x)\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[4,\,4^{2} - 3\cdot4\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[4,\,16 - 12\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left[4,\,4\right]\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:T(4, 4)\end{gathered}$

• Calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (x^{2} - 3x)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot4^{2 - 1} - 3\cdot1\cdot4^{1 - 1}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot4 - 3\cdot4^{0}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8 - 3\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = 5\end{gathered}$

• Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

        Substituindo os valores das incógnitas na equação "I", temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = 5\cdot(x - 4)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = 5x - 20\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 5x - 20 + 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 5x - 16\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 5x - 16\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$