Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 1 ano atrás

determine a equação da reta tangente a curva f(x)= 3x² no ponto (1,3)

Soluções para a tarefa

Respondido por gabrieldoile

Temos a seguinte curva:
$f(x) = 3x^2$
Assim como, a equação da reta na forma:
$y = ax+b$
Primeiro vamos encontrar o coeficiente angular no ponto, derivando a função da curva e aplicando x=1:
$f(x) = 3x^2 \\ \\ f'(x) = 3 \cdot 2 x^{2-1} = 6x^1 = 6x \\ \\ f'(1) = 6 \cdot 1 = 6 \\ \\ f'(1) = a = 6$
Logo temos o seguinte:
$y = 6x + b$
Encontraremos o coeficiente linear aplicando as coordenadas do ponto:
$y = 6x + b \\ \\ 3 = 6 \cdot 1 + b \\ \\ 3 = 6 + b \\ \\ b = -3$
Logo temos a equação da reta:
$y = 6x - 3$

Respondido por solkarped

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 6x - 3\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} y = 3x^{2}\\T(1, 3)\end{cases}$

Observe que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$}$

Para resolver esta questão, devemos calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (3x^{2})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 3\cdot2\cdot1^{2 - 1}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 6\cdot 1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 6\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = 6\end{gathered}$}$

Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$