Question

Determine a equação da reta (r) que é perpendicular a bissetriz dos quadrantes ímpares e que passa pelo ponto de intersecção das retas (s) : 2x-3y-1=0 e (t) : 3x-y-2=0

Answer 1

Como a reta (r) é perpendicular a bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III), sabemos que um de seus pontos é (0, 0). Agora, basta que descubramos o 2º ponto, que é a intersecção entre as retas (s) e (t):

$(s) \ -\ \textgreater \ \ 2x-3y-1=0 \ -\ \textgreater \ \ x= \frac{3y+1}{2} \\ (t) \ -\ \textgreater \ \ 3x-y-2=0 \\ \\ 3( \frac{3y+1}{2})-y-2=0 \\ \\ \frac{9y+3}{2}- \frac{2y}{2}=2 \\ \\ \frac{7y+3}{2}=2 \\ \\ 7y+3 = 4 \\\\ 7y=1 \\\\ y= \frac{1}{7} \\ \\ x= \frac{3 \frac{1}{7}+1}{2} \\\\ x= \frac{ \frac{3}{7}+1}{2} \\\\ x= \frac{ \frac{10}{7}}{2} \\ \\x= \frac{10}{7}. \frac{1}{2} \\\\ x= \frac{10}{14} \\\\ x = \frac{5}{7}$

Logo, os pontos distintos da reta (r) são (0, 0) e (5/7, 1/7). Agora, basta que calculemos o coeficiente angular (m) e a equação da reta (r).

$A=(0,0) \\ B=( \frac{5}{7}, \frac{1}{7}) \\\\ (r)\ -\ \textgreater \ \ ax+by+c=0 \\ \\ m= \frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\\\ m= \frac{ \frac{1}{7}-0 }{ \frac{5}{7}-0 } \\ \\ m= \frac{1}{7}. \frac{7}{5} \\\\m= \frac{1}{5} \\\\ y-y_{A}=m(x-x_{A}) \\ \\ y-0= \frac{1}{5}(x-0) \\\\ y= \frac{x}{5} \\ \\ \frac{x}{5}-y=0 \\ \\ (multiplicando \ tudo \ por \ 5) \\ \\ x-5y=0 \\ \\ Logo: \\\\ (r) \ -\ \textgreater \ \ x-5y=0$