Question

Determine a equação da reta r perpendicular ao plano π de equação geral π:−2x+y+2z−7=0 e que contém o ponto P=(1,2,−1). Se Q é o ponto de intersecção da reta r e ao plano π, determine as suas coordenadas.

Answer 1

Olá!

Se a reta é perpendicular ao plano e contém o ponto P, então podemos usar o vetor normal do plano v = (-2,1,2), como vetor diretor da reta. Daí a equação da reta será a seguinte:

$r: \, x=(1,2,-1)+ t(-2,1,2) \\\\\\ r: \, \left\{\begin{array}{lll} x=1-2t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{array}\right$

A interseção entre a reta e o plano é dada da seguinte forma:

$-2x+y+2z-7=0 \\\\ -2 \cdot (1-2t)+(2+t)+2 \cdot (-1+2t)-7=0 \\\\ -2+4t+2+t-2+4t-7=0 \\\\ 9t-9=0 \\\\ t=1$

Se t = 1, então as coordenadas do ponto de interseção Q serão:

$r: \, \left\{\begin{array}{lll} x=1-2t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{array}\right \\\\\\ r: \, \left\{\begin{array}{lll} x=1-2 \cdot 1 \\ y=2+1 \\ z=-1+2 \cdot 1 \end{array}\right \\\\\\ r: \, \left\{\begin{array}{lll} x=-1 \\ y=3 \\ z=1 \end{array}\right \\\\\\ Q=(-1,3,1)$