Question

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e pelo centro da circunferência de equação

x^2 + y^2 - 4x + 8y - 1 = 0 .

Answer 1

Primeiro encontramos o centro da circunferência. Sabendo que a equação reduzida da circunferência é:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Expandindo:

$(x^2 - 2 \cdot a \cdot x + a^2) + (y^2 - 2 \cdot b \cdot y) = r^2$

Onde C = (a,b) representa as coordenadas x e y do centro e r é o raio. Então se olharmos a equação da circunferência:

$(x^2 - 4 \cdot x) + (y^2 - 8 \cdot y) - 1$

Conseguimos calcular a e b:

$-2 \cdot a \cdot x = -4 \cdot x$

$a = \dfrac{-4 \cdot x}{-2 \cdot x}$

$a = 2$

e:

$-2 \cdot b \cdot y = 8 \cdot y$

$b = \dfrac{8 \cdot y}{-2 \cdot y}$

$b = -4$

Ou seja, equação reduzida da circunferência seria:

$(x^2 - 4 \cdot x +4) + (y^2 + 8 \cdot y + 16) = 16+4+1$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 21$

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = \sqrt{21}^2$

Mas não precisamos dela aqui. Sabendo que a reta passa por P = (1,2) e C = (2,-4), a equação da reta é escrita como:

$y = m \cdot x + n$

Quando x = 1, y = 2:

$2 = m \cdot 1 + n$

$2 = m + n$

Isolando n:

$n = 2 - m$

Quando x = 2, y = -4:

$-4 = m \cdot 2 + n$

$-4 = 2 \cdot m + n$

Isolando n:

$n = -4 - 2 \cdot m$

Agora igualando o n da primeira equação com o n da segunda:

$n = n$

$2 - m = -4 - 2 \cdot m$

$2 \cdot m - m = -4 - 2$

$m =-6$

Substituindo, podemos encontrar n:

$n = 2 - m$

$n = 2-(-6)$

$n = 2+6$

$n = 8$

Assim, a equação da reta será:

$\boxed{y = -6 \cdot x+8}$