Question

Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa pelos pontos
A(−5,5), B(3,−3) e C(3,1).

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Como o eixo de simetria é horizontal, essa parábola é da forma $\sf x=ay^2+by+c$

=> A(-5, 5)

$\sf x=ay^2+by+c$

$\sf -5=a\cdot5^2+b\cdot5+c$

$\sf -5=25a+5b+c$

$\sf 25a+5b+c=-5$

=> B(3, -3)

$\sf x=ay^2+by+c$

$\sf 3=a\cdot(-3)^2+b\cdot(-3)+c$

$\sf 3=9a-3b+c$

$\sf 9a-3b+c=3$

=> C(3, 1)

$\sf x=ay^2+by+c$

$\sf 3=a\cdot1^2+b\cdot1+c$

$\sf 3=a+b+c$

$\sf a+b+c=3$

Podemos montar o sistema:

$\sf \begin{cases} \sf 25a+5b+c=-5 \\ \sf 9a-3b+c=3 \\ \sf a+b+c=3 \end{cases}$

Multiplicando a terceira equação por $\sf -1$

$\sf \begin{cases} \sf 25a+5b+c=-5 \\ \sf 9a-3b+c=3 \\ \sf a+b+c=3~~~\cdot(-1) \end{cases}~\Rightarrow~\begin{cases} \sf 25a+5b+c=-5 \\ \sf 9a-3b+c=3 \\ \sf -a-b-c=-3 \end{cases}$

Somando a primeira e a terceira equações:

$\sf 25a+5b+c-a-b-c=-5-3$

$\sf 24a+4b=-8$

$\sf 6a+b=-2$

Somando a segunda e a terceira equações:

$\sf 9a-3b+c-a-b-c=3-3$

$\sf 8a-4b=0$

$\sf 4b=8a$

$\sf b=2a$

Substituindo em $\sf 6a+b=-2$:

$\sf 6a+b=-2$

$\sf 6a+2a=-2$

$\sf 8a=-2$

$\sf a=\dfrac{-2}{8}$

$\sf \red{a=\dfrac{-1}{4}}$

Assim:

$\sf b=2a$

$\sf b=2\cdot\Big(\dfrac{-1}{4}\Big)$

$\sf b=\dfrac{-2}{4}$

$\sf \red{b=\dfrac{-1}{2}}$

Substituindo os valores encontrados em $\sf a+b+c=3$:

$\sf a+b+c=3$

$\sf \dfrac{-1}{4}-\dfrac{1}{2}+c=3$

$\sf c=3+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$

$\sf c=\dfrac{12+1+2}{4}$

$\sf \red{c=\dfrac{15}{4}}$

A equação da parábola é:

$\sf x=ay^2+by+c$

$\sf x=\dfrac{-y^2}{4}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{15}{4}$

$\sf 4x=-y^2-2y+15$

$\sf \red{y^2+2y-15=-4x}$