Question

Determine a equação da parábola que tem:

a) foco no ponto F(3, 0) e diretriz de equação x = -3;
b) diretriz de equação y = 3 e vértice V(0, 0);
c) foco no ponto F(1, 2) e diretriz de equação x = -2;
d) diretriz de equação x = 2 e vértice V(-1, -3)

Answer 1

Vamos lá

a) Tem que utilizar formula , dada por:

vamos abrir as parêntesis

(x + 3)² = (x - 3)² + y² 

x² + 6x + 9 = x² - 6x + 9 + y²

equaçao de nossa parabola é

y² = 12x 

b) a equaçao da parábola com o vórtice(h,k) e diretriz y = k - p è

(x - h)² = 4p*(y - k)

como o vértice é V(0,0) 

temos ⇒ h = 0 e k = 0

a diretriz é

y = k - p = 3

y = 0 - p = 3

p = -3

equaçao

x² = -12y 

c)

(x + 2)² = (x - 1)² + (y - 2)² 

vamos abrir as parêntesis

x² + 4x + 4 = x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4

6x  = y² - 4y + 1 

x = (y² - 4y + 1)/6

d) a equaçao da parábola com o vórtice(h,k) e diretriz x = h - p é

(x - h) = 4p*(y - k)²

com  V(-1,-3) temos  h = -1, k = -3

x = h - 1/16p = -1 - 1/16p = 2

1/16p = -3

-48p = 1

p = -1/48

equaçao (x - h) = 4p*(y - k)²

(x + 1) = -((y - k)²/12

Answer 2

A equação de cada parábola descrita é:

(a) $x = y^2 / 12$

(b) $y = - x^2 / 12$

(c) $x +(1/2) = (y-2)^2 / 6$

(d) $x - (1/2) = -(y+3)^2 / 6$

O que é uma parábola?

Fixados uma reta r e um ponto P que não pertence à reta r, uma parábola com foco P e diretriz r é definida pelo conjunto de pontos no plano que são equidistantes de P e de d, ou seja, cuja distância para o ponto P é igual à distância para a reta r.

Utilizando as fórmulas de distância de ponto a ponto e de distância de ponto a reta, temos que, se P(x_0, p/2) e r: y = -p/2, então a parábola possui equação:

$y = (x - x_0)^2 / 2p$

No caso em que o foco e a diretriz são da forma P(p/2,y_0) e r: x = -p/2, a equação da parábola será dada por:

$x = (y-y_0)^2 / 2p$

Alternativa a

Temos que $p = 2*3 = 6$ e a diretriz é paralela ao eixo y, logo:

$x = y^2 / 4*6 \\x = y^2/12$

Alternativa b

A diretriz é paralela ao eixo x e o vértice é no ponto (0,0), logo $p = 2*(-3) = -6$ , ou seja, a parábola é dada por:

$y = x^2 / 4*6\\y = x^2/(-12)\\y = -x^2/12$

Alternativa c

O foco é no ponto (1, 2) e a diretriz é paralela ao eixo y, logo $p = 1 -(- 2 )= 3$ foco dessa parábola é no ponto (-1/2, 2), logo devemos transladar os pontos, dessa forma, obtemos:

$x -(-1/2) = (y-2)^2 / [2*(3)]\\x + (1/2) = (y - 2)^2/6$

Alternativa d

A diretriz é paralela ao eixo y e o vértice é no ponto (-1, -3), logo, o foco é no ponto (1/2, -3) e p = (-1-2) = -3. Temos a equação:

$x - (1/2) = (y+3)^2 / (-6)\\x-(1/2) = -(y + 3)^2/6$

Para mais informações sobre parábolas, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48445177

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