Question

Determine a equação da parábola de foco F(5,0) e diretriz igual a d: x = - 5.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação procurada da referida parábola é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \rho: y^{2} = 20x\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} F=(5, 0)\\d: x = -5\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Encontrar o ponto de interseção entre o eixo de simetria da parábola e a reta diretriz "d". Sabendo que a ordenada do foco é "0" e a reta diretriz é perpendicular ao eixo das abscissas, então o ponto de interseção "I" entre a reta suporte do foco com a reta diretriz é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} I(-5, 0)\end{gathered}$  

• Determinar o vértice da parábola. Sabendo que o vértice da parábola é o ponto médio do segmento FI, então, temos:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (x_{V},\,y_{V}) = \bigg(\frac{x_{F} + x_{I}}{2},\,\frac{y_{F} + y_{I}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{5 + (-5)}{2},\,\frac{0 + 0}{2}\bigg)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (0,\,0)\end{gathered}$

          Portanto, o vértice da parábola é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} V (0, 0)\end{gathered}$

• Determinar o valor de "p". Para isso, devemos calcular a distância de F a V, ou seja:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} p = |\overline{FV}|\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(x_{V} - x_{F})^{2} + (y_{V} - y_{F})^{2}}\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(0 - 5)^{2} + (0 - 0)^{2}}\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(-5)^{2}}\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{25}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5\end{gathered}$

         Portanto, o valor de "p" é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} p = 5\end{gathered}$

          Uma vez que a concavidade da parábola sempre abre no sentido oposto da reta diretriz. Então a concavidade se abre para a direita. Desta forma o valor de "p" deve ser positivo. Então, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} p = 5\end{gathered}$

• Montar a equação da parábola:

        Uma vez sabendo que o eixo de simetria da parábola é paralelo ao eixo das abscissas, então a equação da parábola pode ser montada sob a seguinte fórmula:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} (y - y_{V})^{2} = 4p\cdot(x - x_{V})\end{gathered}$

        Então, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} (y - 0)^{2} = 4\cdot5\cdot(x - 0)\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} = 20x\end{gathered}$

Portanto, a equação da procurada da parábola é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \rho: y^{2} = 20x\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$