Determine a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P (1,√6) e tem um foco F1 (0, -2)
Soluções para a tarefa
A equação reduzida da elipse com focos no eixo y é da forma:
x²/b² + y²/a² = 1
O valor de a representa a metade do eixo maior, o valor de b representa a metade do eixo menor, o valor de c é dado por c² = a² - b², onde as coordenadas do foco são (0, c) e (0, -c).
Sabendo disso, temos que c = -2. A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos da mesma resulta em 2a, logo:
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a
√[(0 - 1)² + (-2 - √6)²] + √[(0 - 1)² + (2 - √6)²] = 2a
√[1 + 4 + 4√6 + 6] + √[1 + 4 - 4√6 + 6] = 2a
√[11 + 4√6] + √[11 - 4√6] = 2a
Elevando os dois membros ao quadrado:
11 + 4√6 + 11 - 4√6 + 2√(11 + 4√6)(11 - 4√6) = 4a²
22 + 2√(11² - (4√6)²) = 4a²
22 + 2√25 = 4a²
22 + 10 = 4a²
4a² = 32
a² = 8
Logo, o valor de b² é:
(-2)² = 8 - b²
b² = 8 - 4
b² = 4
A equação da elipse é:
x²/4 + y²/8 = 1