Question

Determine a equação canônica da elipse com centro na origem, focos no eixo focal sobre o eixo Ox, que passa pelo ponto
$a(2 \sqrt{2} . \: 1)$
e de excentricidade
$\frac{1}{ \sqrt{2} }$
​

Answer 1

Equação da elipse com eixo focal horizontal

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{{(x-x_{0})}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{(y-y_{0})}^{2}}{{b}^{2}}=1}}}$

Como o centro é $O(0,0)$ e $A(2\sqrt{2},1)$ Uma extremidade focal o valor de $a=d_{O, A}$

$a=\sqrt{{(2\sqrt{2}-0)}^{2}+{(1-0)}^{2}}\\a=\sqrt{8+1}\\ \boxed{\boxed{a=\sqrt{9}=3}}$

$e=\dfrac{c}{a} \\\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{c}{3}\\c=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\\c=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}\\{b}^{2}={3}^{2}-{(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})}^{2}\\{b}^{2}=9-\dfrac{18}{4}\\b=\pm\sqrt{\dfrac{36-18}{4}}=\pm\sqrt{\dfrac{18}{4}}=\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

A equação canônica da elipse será

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}} =1$

$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{9}{2}}=1$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{2{y}^{2}}{9}=1 \checkmark}}}$