Question

Determine a equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial 2y'' + 3y' + y = 0 sabendo que y(0) = 1 e y'(0) = 1.

Answer 1

Somos solicitados a resolver a equação diferencial por Laplace, a transformada de Laplace tem a vantagem de nos permitir simplificar uma equação diferencial em um problema de álgebra simples e claramente solucionável.

• A equação diferencial que temos que resolver usando este método será:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large 2y''+3y'+y=0}}}$

• E se aplicarmos as transformadas de Laplace nessa equação, obtemos:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large 2\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\}=0}}}$

Para usar a transformada de Laplace com a equação diferencial devemos usar a propriedade de transformação de uma derivada, são elas:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) -y(0)}}}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) -sy(0)-y'(0)}}}$

• Onde $Y(s)$ representa a transformada de Laplace de y.

Se aplicarmos essas propriedades na equação diferencial, obtemos:

$\large 2\left[s^2Y(s)-sy(0)-y''(0)\right]+ 3\left[sY(s)-y(0)\right] + Y(s) =0$

Antes de simplificar a equação devemos usar as condições iniciais que o problema nos dá no início. Se aplicarmos essas condições, obteremos:

$\large 2\left[s^2Y(s)-s-1\right]+ 3\left[sY(s)-1\right] + Y(s) =0$

• Aplicando essas condições, obtemos uma equação mais confortável. Se simplificarmos a equação, teremos:

$\large 2s^2Y(s)-2s-2+ 3sY(s)-3 + Y(s) =0$

$\large \left(2s^2+3s+1\right)Y(s)-2s-5=0$

Temos um polinômio de terceiro grau na equação, esse polinômio deve ser fatorado para poder separar a equação em frações parciais.

$\large (2x+1)(x+1)Y(s)=2s+5$

$\large Y(s)=\dfrac{2s+5}{(2s+1)(s+1)}$

• Agora essa fração deve ser separável em frações parciais, para separar em frações parciais usaremos a fórmula:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large \dfrac{2s+5}{(2s+1)(s+1)}=\dfrac{A}{2s+1} + \dfrac{B}{s+1}}}}$

Onde "A" e "B" são constantes que podem ser calculadas aplicando um valor a s. Mas antes de atribuirmos um valor a s vamos isolar a primeira parte da equação para obter algo mais simples.

$\large {2s+5}=(2s+1)(s+1)\cdot \left[\dfrac{A}{2s+1} + \dfrac{B}{s+1}\right]$

$\large {2s+5}=A(s+1) + B(2s+1)$

• Agora podemos atribuir um valor a s para calcular A e B. Se atribuirmos -1 a s, obteremos:

$\large {2(-1)+5}=A(-1+1) + B(2(-1)+1)$

$\large {-2+5}= B(-1)$

$\large {3}= B(-1)$

$\large {-3}= B$

Agora calculamos o valor de "A" conhecendo o valor de "B" e alterando o valor de s para um novo valor. Se s é igual a 1:

$\large {2(1)+5}=A(1+1) -3(2(1)+1)$

$\large {7}=A(2) -3(3)$

$\large {7}=A(2) -9$

$\large {7}+9=A(2)$

$\large 16=A(2)$

$\large \dfrac{16}{2}=$

$\large 8=A$

• Se substituirmos esses valores obteremos:

$\large \dfrac{8}{2s+1} - \dfrac{3}{s+1}$

Estamos mais perto de encontrar a solução da equação diferencial, basta aplicar a transformada inversa de Laplace.

$\large \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{8}{2s+1} \right \}- \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3}{s+1}\right\}$

$\large 4\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+\dfrac{1}{2}} \right \}- 3\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}$

• Para essas transformadas inversas de Laplace, usamos o seguinte valor extraído de uma tabela:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}}}}~ ou~\boxed{\boxed{\boxed{\large \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}}}}$

• Aplicamos isso e obtemos

$\boxed{\boxed{\boxed{\bold{\large =4e^{-\frac{t}{2}} -3e^{-t}}}}}$

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