Question

Determine a distancia entre o ponto p e a reta r

Answer 1

A distância entre um ponto P e uma reta R é uma ferramenta de análise da geometria analítica que mostra a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

Para calcular essa distância deve se unir o ponto à reta formando um ângulo reto (90º) entre a reta traçada do ponto até a reta R em questão.

Para ser possível fazer esse cálculo é necessário termos a equação que forma a reta R e as coordenadas do ponto P. Tendo uma reta R genérica: ax + by + c = 0 e um ponto P(x,y), para determinar a distância (d) entre esses dois pontos deve ser feito a seguinte equação:

$d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } }$

Por tanto, a distância entre o ponto P(x,y) e a reta R: ax + by + c = 0 é $d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } }$.

Exemplo de uso da fórmula acima

Vamos definir uma reta R e um ponto P da forma descrita abaixo:

• Reta R = 2x + y + 6 = 0;
• Ponto P (3, -2).

Por tanto, devemos subsituir na equação acima. Para isso, vamos identificar os elementos:

• a = 2
• b = 1
• c = 6
• x = 3
• y = -2

Dessa forma a equação fica:

$d = \frac{|2 . 3 + 1 . (-2) + 6|}{\sqrt{a^{2} + 1^{2} } } = \frac{|6 - 2 + 6|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$

Podemos simplificar a equção multiplicando os elementos do resultado por $\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{5}}$. Dessa forma:

$d = \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

Por tanto, a distância entre o ponto P(3, -2) e a reta R = 2x + y + 6 = 0 é d = $2\sqrt{5}$.

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