Question

Determine a distância do ponto P(5, -4) à reta de equação: r = x - 2y + 1 = 0​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\sf r : \: x + 2y + 1 = 0 \: \: e \: \: P(5,-4)$

A questão quer saber a distância entre esse ponto e essa reta, para isso devemos usar a seguinte fórmula que faz essa relação:

$\star \: \sf dist \hat{a}ncia \: entre \: um \: ponto \: e \: uma \: reta \star \\ \boxed{ \boxed{ \sf d_{a,b} = \frac{ | a_{x0} + b _{y0} + c | }{ \sqrt{ {a}^{2} + b {}^{2} } } }}$

Os elementos a, b e c são justamente os coeficientes da equação geral da reta:

$\sf x + 2y - 1 = 0 \therefore ax + by + c = 0 \\ \sf a = 1, \: b = 2 \: e \: c = - 1$

Já os elementos xo e yo representam a abscissa e ordenada do ponto em estudo:

$\sf P(5,-4) \to x_0 = 5 \: \: e \: \: y_0 = - 4$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf d_{a,b} = \frac{ | a_{x0} + b _{y0} + c | }{ \sqrt{ {a}^{2} + b {}^{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf d_{a,b} = \frac{ |1.5 + 2.( - 4) + 1| }{ \sqrt{1 {}^{2} + 2 {}^{2} } } \\ \\ \sf \sf d_{a,b} = \frac{ |5 - 8 + 1| }{ \sqrt{1 + 4} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf d_{a,b} = \frac{ | - 2| }{ \sqrt{5} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf d_{a,b} = \frac{2}{ \sqrt{5} } . \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf d_{a,b} = \frac{ 2\sqrt{5} }{25} u.c}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado