Determine a dimensão do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 triangulares superiores
Soluções para a tarefa
Utilizando conceitos de definição de nucleo de matriz, e dimensão geradora, temos que a dimensão destas matrizes é 3.
Explicação passo-a-passo:
Esta é uma questão bem simples, que não é necessario sequer fazer calculos.
Sabemos que dimensão de uma matriz é a quantidade de vetores linearmente independentes do tipo coluna (ou linha se quiser ser inovador) necessarios para se montar as colunas da sua matriz (ou linha se vocês escolheu vetores linha).
Se uma matriz é do tipo triangular superior, sabemos que a sua determinante é simplesmente a multiplicação dos termos da diagonal, que por definição do tipo da matriz são diferentes de 0.
Assim sabemos que o determinante desta matriz é diferente de 0, pois ele veio de uma multiplicação de termos não nulos.
Se o determinante da matriz é diferente 0, significa que as colunas desta matriz são linearmente independentes, ou seja, para se formar estas colunas são necessarios três vetores diferentes (pois esta matriz tem 3 colunas, por ser 3x3).
Se a quantidade de vetores para forma esta matriz é 3, então o nucleo desta matriz possui 3 vetores, logo, dimensão 3.