Question

Determine a derivada direcional em relação ao vetor a no ponto P, de acordo com as informações a seguir.

Answer 1

 Oi Ray!

• Uma derivada direcional é definida como:

                    $\large {\text { \sf \blue { \cfrac{\partial f}{\partial u}} \purple{ \left(P \right)} = \nabla f(p) \cdot \red {U} \purple{n} \gray {i} \blue {t} \' \pink {a} \yellow {r} \green{i} o }}$

• Para começar o exercício, temos de calcular, logo de cara o vetor gradiente da função. Iremos começar com os pontos genéricos que são x e y, diante disso iremos derivar a função em x e derivar em y também:

         $\large { \sf \nabla f (x,y) = < \black {15 \: x^2}, \gray {4} > }$

• Agora iremos substituir pelos pontos x = 2 e y = 1, que ficará:

        $\large { \sf \nabla f (2,1) = <15 \cdot 4 ,4 >}$

• Assim obteremos nosso vetor gradiente:

        $\large { \sf \nabla f(2,1 ) = <60,4>}$

• Lembrando que o vetor a é 6 e 8. Ele não é um vetor unitário, ele não tem tamanho um:

        $\large { \sf \overrightarrow {\sf a} = 6 \overrightarrow {\sf i} + 8 \overrightarrow {\sf j} = <6, 8> }$

• Eu sei que ele não tem tamanho um porque podemos calcular o  módulo dele:

       $\large { \sf |u| = \sqrt{6^2+8^2} = 10 }$

• Teremos de obter agora o vetor unitário:

       $\large {\sf U_{\sf nit\'ario} = \cfrac{<6,8>}{10} = <\cfrac{6}{10} , \cfrac{8}{10} > }$

• ✅ Neste momento descobriremos a derivada direcional em P:

$\large {\text { \sf \cfrac{\red {\partial f}}{\blue {\partial u}} (\pink {2},\purple{1}) = <60,4> \cdot <\cfrac{6}{10} , \cfrac{8}{10} >\:\: \Longrightarrow \:\: 60 \cdot \cfrac{6}{10} + 4 \cdot \cfrac{8}{10} = \cfrac{360}{10} + \cfrac{32}{10} = \boxed { \bf 39,2} }}$