Question

Determine a derivada direcional

Answer 1

Temos mais uma questão de derivada direcional, mas desta vez o vetor não é fornecido, mas podemos encontrá-lo através do círculo trigonométrico, como é mostrado na figura. Portanto o nosso vetor unitário é:

$\sf \vec{u} = ( \cos(45 {}^{o} , \sin(45 {}^{o} )) \: \: ou \: \: \vec{u} = \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)$

Agora devemos encontrar o gradiente, dado por:

$\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} , \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)$

Encontrando a derivada parcial da função em relação a x e y:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = e {}^{xy} .\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}(x.y) \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = e {}^{xy} .(y) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = e {}^{xy} .\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}(x.y) \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = e {}^{xy} .(x ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto o gradiente da função é:

$\nabla f(x,y) = (e {}^{xy} .y, e {}^{xy} .x)$

Substituindo o valor do ponto no gradiente:

$\nabla f(0,3) = (e {}^{0.3} .3, e {}^{3.0} .0) \\ \nabla f(0,3) = (3, 0)$

Agora vamos usar a relação da derivada direcional, mas desta vez não precisamos calcular o vetor unitário, já que obtemos anteriormente. Substituindo:

$D_{u}f = \nabla f(x,y) \: . \: \vec{u} \\ D_{u}f = (3,0) \: . \: \left( \frac{ \sqrt{2} }{ 2} , \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \\ D_{u}f = \frac{3 \sqrt{2} }{2} + \frac{0. \sqrt{2} }{2} \\ \boxed{D_{u}f = \frac{3 \sqrt{2} }{2} }$

Espero ter ajudado