Question

determine a derivada da função f(x)=1-raiz1+cos^2(e^x)

Answer 1

Resposta: f'(x) = eˣsen(2eˣ)/2√[1 + cos²(eˣ)]

 

Vamos lá. Comece utilizando a regra (f + g)' = f' + g':

 

$\begin{array}{l}f(x)=1-\sqrt{1+cos^2(e^x)}\\\\f'(x)=\big(1-\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\\\\f'(x)=(1)'-\big(\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\end{array}$

 

A derivada da constante é igual a zero:

 

$\begin{array}{l}f'(x)=0-\big(\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\\\\f'(x)=-\,\big(\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\end{array}$

 

Utilize a regra da cadeia denotando $1+cos^2(e^x)$ por $u$; faça a derivada da raiz quadrada de $u$ em relação a $u$, vezes a derivada de $u$ em relação a $x$:

 

$\begin{array}{l}f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (1+cos^2(e^x))^{\frac{1}{2}-1}\cdot(1+cos^2(e^x))'\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (1+cos^2(e^x))^{-\frac{1}{2}}\cdot[(1)'+(cos^2(e^x))']\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{(1+cos^2(e^x))^{\frac{1}{2}}}\cdot[0+(cos^2(e^x))']\\\\f'(x)=-\dfrac{(cos^2(e^x))'}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\end{array}$

 

Aplicando a regra da cadeia novamente, denotando $cos(e^x)$ por $u$:

 

$\begin{array}{l}f'(x)=-\dfrac{2\cdot cos^{2-1}(e^x)\cdot (cos(e^x))'}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\\\\f'(x)=-\dfrac{2cos(e^x)\cdot(-\,sen(e^x))\cdot (e^x)'}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\\\\f'(x)=\dfrac{2e^xcos(e^x)sen(e^x)}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\end{array}$

 

Observe a seguinte identidade:

$sen(2\theta)=sen(\theta+\theta)=sen(\theta)cos(\theta)+sen(\theta)cos(\theta)=2sen(\theta)cos(\theta)$

Então:

 

$\begin{array}{l}\red{\boldsymbol{f'(x)=\dfrac{e^xsen(2e^x)}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}}}\end{array}$