Question

determine a curva que passa pelo ponto (1,0) e apresenta inclinação de reta tangente igual a ln(x) e apresente um esboço do grafico dessa curva, bem como o domínio e a imagem dessa curva.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais.

Primeiro, lembre-se que a inclinação da reta tangente de uma curva $f(x)$, cujo domínio é $\mathcal{D}$, em um ponto $x_0\in\mathcal{D}$ é numericamente igual a $f'(x_0)$.

Assim, sabendo que a inclinação da reta tangente a esta curva em qualquer ponto de seu domínio é igual à função logaritmo natural avaliada neste ponto, temos que:

$f'(x)=\ln(x)$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int f'(x)\,dx=\int \ln(x)\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral da derivada de uma função é igual a própria função acrescida de uma constante arbitrária, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int g'(x)\,dx=g(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função logaritmo natural pode ser calculada pela técnica de integração por partes: $\displaystyle{\int g(x)\cdot h'(x)\,dx=g(x)\cdot h(x)-\int h(x)\cdot g'(x)\,dx}$.
• A derivada da função logaritmo natural é calculada por meio de derivação implícita: $y=\ln(x)\Rightarrow x=e^y$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função exponencial é igual a própria função exponencial multiplicada pelo logaritmo natural da base: $(a^x)'=a^x\cdot \ln(a),~a>0$. Em particular, $(e^x)'=e^x$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência $\displaystyle{\int x^n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}, n\neq-1}$.

Para aplicarmos a técnica de integração por partes, fazemos $g(x)=\ln(x)\Rightarrow x = e^{g(x)}$ e $h'(x)=1\,dx\Rightarrow h'(x)=x^0\,dx$.

Diferenciamos a primeira igualdade e integramos a segunda igualdade

$(x)'=(e^{g(x)})'\\\\\\1\cdot x^{1-1}=g'(x)\cdot e^{g(x)}\\\\\\\ \boxed{g'(x)=\dfrac{1}{e^{g(x)}}=\dfrac{1}{x}}\\\\\\ \displaystyle{\int h'(x)\,dx=\int x^0\,dx}\\\\\\ \boxed{h(x)=\dfrac{x^{0+1}}{0+1}=x}$

Assim, teremos:

$f(x)=\displaystyle{\ln(x)\cdot x -\int x\cdot \dfrac{1}{x}\,dx}\\\\\\f(x)=\displaystyle{\ln(x)\cdot x -\int 1\,dx}\\\\\\ f(x)=x\ln(x)-x+C$

Sabendo que esta curva passa pelo ponto $(1,~0)$, determinamos o valor da constante $C$:

$0=1\cdot\ln(1)-1+C\\\\\\ 0=0-1+C\\\\\\ \boxed{C=1}$

Dessa forma, a equação da curva que satisfaz estas condições é:

$\boxed{f(x)=x\ln(x)-x+1}$

Veja o gráfico da curva na primeira imagem em anexo, gerada pelo software Geogebra.

O domínio desta função é o conjunto $\mathbb{R}^+$ e o contradomínio (ou imagem) é o conjunto $\mathbb{R}^+\cup\{0\}$.