Question

Determine a, b ∈ ℝ tal que a função (apresentada na imagem) seja contínua.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases}1 + x, \: se \: x < 2 \\ x {}^{2} + ax - b , \: se \: 2 \leqslant x < 3 \\ \sqrt{4 - x} , \: se \: 3 \leqslant x \end{cases}$

Para encontrar o valor de "a" e "b" vamos usar os limites laterias, pois com eles podemos formar igualdades, já que eles devem ser iguais para que o limite bilateral possa existir.

$\lim_{x\to2^{ + }}x {}^{2} + ax - b= \lim_{x\to2^{-}} 1 + x \\ 2 {}^{2} + a.2 - b = 1 + 2 \\ 4 + 2a - b = 3 \\ 2a - b = - 1$

Usando os limites laterais novamente:

$\lim_{x\to3^{ + }} \sqrt{4 - x} = \lim_{x\to3^{-}}x {}^{2} + ax - b \\ \sqrt{4 - 3 } = 3 {}^{2} + a.3 - b \\ \sqrt{1} = 9 + 3a - b \\ 3a - b = - 8$

Agora podemos resolver um sistema com essas duas expressões que obtivemos;

$\begin{cases} 2a - b = - 1 \\ 3a - b = - 8\end{cases}$

Pelo método da adição, temos:

$3a - 2a + b - b = - 8 + 1 \\ \boxed{a = - 7}$

Substituindo o valor de (a) em uma das expressões:

$2a - b = - 1 \: \: \to \: \: 2( - 7) - b = - 1 \\ - 14 - b = - 1 \: \: \to \: \: \boxed{ b = - 13}$

Espero ter ajudado