Determine a(as) equações da(s) reta(s), que passa(m) pela origem e é(são) tangentes à circunferência x²+y²-6x-2y+8=0.[tex][/tex]
Soluções para a tarefa
A equação da circunferência é x² + y² - 6x - 2y + 8 = 0
Rearranjando essa equação, temos:
x² + y² - 6x - 2y + 8 = 0
x² + y² - 6x - 2y + 8 + 2 - 2 = 0
x² + y² - 6x - 2y + 10 = 2
x² - 6x + 9 + y² - 2y + 1 = 2
(x - 3)² + (y - 1)² = 2
Portanto, a circunferência tem raio √2 e seu centro é o ponto (3, 1).
A origem é o ponto (0, 0). Trata-se de um ponto que está fora da circunferência dada. Então, podemos traçar duas retas tangentes à circunferência a partir da origem.
A única informação que temos a respeito dessas retas é que elas passam pelo ponto (0, 0). Logo, temos:
(y - y0) = m*(x - x0)
y - 0 = m*(x - 0)
y = mx
A conclusão aqui é que as retas serão da forma y = mx, mas falta descobrir o valor de "m", que é o nosso coeficiente angular.
Para descobrir quanto vale "m", podemos utilizar o conceito de distância de um ponto a uma reta.
Seja uma reta ax + by + c = 0 e um ponto P = (x1, y1). A fórmula para calcular a distância desse ponto à reta é a seguinte:
Nesse caso, sabemos que a distância do centro da circunferência às retas que tangenciam a circunferência é a medida do o raio da circunferência.
O centro da circunferência é o ponto (3, 1), o raio da circunferência é √2 e nossas retas possuem formato y = mx ⇒ -mx + y = 0.
Portanto, temos:
√2 = [|(-m)*3 + 1*1 + 0|] / {√[(-m)² + 1²]}
√2 = (|-3m + 1|) / [√(m² + 1)]
√(m² + 1)*√2 = |-3m + 1|
√(2m² + 2) = |-3m + 1|
Aqui, nos deparamos com uma equação modular. Temos -3m + 1 = √(2m² + 2) ou -3m + 1 = -√(2m² + 2). Contudo, como temos uma raiz do outro lado da igualdade, optar por √(2m² + 2) ou -√(2m² + 2) não fará diferença, pois esse valor será elevado ao quadrado posteriormente.
Prosseguindo:
-3m + 1 = √(2m² + 2)
Elevando os dois lados ao quadrado:
(-3m + 1)² = [√(2m² + 2)]²
9m² - 6m + 1 = 2m² + 2
7m² - 6m - 1 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-6)² - 4.7.(-1)
Δ = 36 + 28
Δ = 64
m = (-b ± √Δ/)2.a
m = [-(-6) ± √64]/2.7
m = (6 ± 8)/14
m1 = (6 + 8)/14 = 14/14 = 1
m2 = (6 - 8)/14 = -2/14 = -1/7
Logo, os possíveis valores de m são 1 e -1/7. Como nossas retas tangentes são da forma y = mx, temos:
y = 1*x
y = (-1/7)*x
Então, as retas que passam pela origem e tangenciam a circunferência dada são y = x e y = -x/7.
Espero ter ajudado.