Question

Determine a área total e o volume de um tetraedo regular de aresta igual a 3cm

Answer 1

Olá!
 
  
    Um tetraedro regular tem quatro faces na forma de um triângulo equilátero cada uma. Da área de 1 triângulo equilátero, temos


$A_1=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}, \;\;\text{onde l \'e a medida do lado}.\\ \\ \\ \text{Ent\~ao, para 4 faces temos:}\\ \\ A_4=4\cdot \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = l^2\sqrt{3}\Rightarrow A_4=3\sqrt{3}\;\text{cm}^2.$


    Já o volume é dado pela multiplicação da área da base pela altura, tudo dividido por 3. Lembrando que a altura do triângulo equilátero é dada por

$h=\dfrac{l\sqrt{6}}{3},$

temos


$V_t=\dfrac{A_1\cdot h}{3}=\dfrac{\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{l\sqrt{6}}{3}}{3}= \dfrac{\frac{9\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{6}}{12}}{3}=\dfrac{\frac{9\sqrt{18}}{4}}{3}=\\ \\ \\ = \dfrac{9\sqrt{2}\sqrt{9}}{3\cdot 4}=\dfrac{9\cdot 3\sqrt{2}}{3\cdot 4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\;\text{cm}^3.$



Bons estudos!