Question

Determine a área hachurada do segmento circular com ângulo central de 45 graus, num círculo de raio 10 cm.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{ \boxed{ \mathsf{ S_{ H } = \dfrac{ 75 }{ 2 } - 25\sqrt{ 2 } \,\,\,\,\, u.a.} } }$

___________________________________________________

Resolução:

A área da região hachurada será igual à área do setor circular de raio 10 e 45° menos a área do triângulo BÂC (Imagem).

$\mathsf{ S_{H} = S_{setor} - S_{\Delta}}$

Para a área do setor circular basta multiplicar o quadrado do raio (r) sobre 2 pelo ângulo em radiano:

$\mathsf{ S_{ setor } = \dfrac{r^{ 2 } }{ 2 } \cdot 45\°_{ rad } } \\ \\ \\ \\ \mathsf{ S_{ setor } = \dfrac{ ( 10 )^{ 2 } }{ 2 } \cdot \dfrac{ \pi }{ 4 } } \\ \\ \\ \mathsf{ S_{ setor } \approx \dfrac{ 300 }{ 8 } = \dfrac{ 75 }{ 2 } }$

Para a área do triângulo vou utilizar uma fórmula alternativa:

$\mathsf{ S_{ \Delta } = \dfrac{a \cdot b \cdot sen \,\, ( \Theta ) }{ 2 } }$

Faz-se:

$\mathsf{ S_{ \Delta } = \dfrac{ 10 \cdot 10 \cdot \big( \sqrt{2}/2 \big) }{ 2 } } \\ \\ \\ \mathsf{ S_{ \Delta } = 25\sqrt{ 2 } }$

Daí, vem:

$\boxed{ \mathsf{ S_{ H } = \dfrac{ 75 }{ 2 } - 25\sqrt{ 2 } \,\,\,\,\, u.a.} }$

____________________________________________________