Question

Determine a área do triangulo PQR seguinte(foto EX 97) obs: esse número meio apagado da reta r é um 2.

Answer 1

- dados do exercício reta (r) passa pelos pontos (-2,0) e (0,1) , P e Q

- reta (s) 4x+5y-20=0 e passa  por P e R

- reta (t) x-4=0 e passa por R e Q

- achando a equação da reta (r) y=ax+b ⇒ 0=-2a+b e 1=0.a+b ⇒ b=1 ⇒

logo 2a=1 ⇒ a=1/2 então (r) ⇒ y=x/2+1 ⇒ 2y=x+2 ⇒ x-2y+2=0

- achando o ponto R ⇒ a abcissa de R é x=4 e passa pela reta (s) , logo  ⇒

⇒ 4.4+5y-20=0 ⇒ 16+5y=20 ⇒ 5y=20-16 ⇒ 5y=4 ⇒ y=4/5 ⇒ então R(4, 4/5)

- achando o ponto Q , passa por (r) de abcissa x=4 ⇒ 4-2y+2=0 ⇒ 6-2y=0 ⇒

⇒2y=6 ⇒ y=6/2 ⇒ y=3 logo Q(4,3)

- achando P é intersecção de (r) com (s)

fazendo (r) x=2y-2 ⇒ substitui em (s) temos ⇒ 4.(2y-2)+5y-20=0 ⇒ 8y-8+5y-20=0 ⇒

⇒ 13y-28=0 ⇒ y=28/13 ⇒ x=2.28/13 - 2=(56-26)/13 ⇒ x= 30/13 ⇒ P(30/13,28/13)

-achando a distancia de P a reta x-4=0 (t) ou d P(t)

será 4-30/13=(52-30)/13 = 22/13

- achando a distancia de QR ou dQR

será yQ-yR= 3-4/5 = (15-4)/5 = 11/5

Achando a área do triangulo A= (dQR).dPt/2= {(11/5).(22/13)}/2 ⇒

A= 121/65

Answer 2

A área do triângulo PQR é 45/26.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• A área de um triângulo pode ser calculada se conhecidos os seus vértices;
• A figura mostra 3 retas, onde podemos calcular os pontos de interseção;

Para descobrir a equação da reta r, basta calcular a inclinação da reta:

m = Δy/Δx

m = (1 - 0)/(0 - (-2))

m = 1/2

Se para x = 0, y = 1, temos que a equação da reta será y = x/2 + 1. Calculando a interseção entre r e s:

x/2 + 1 = (20 - 4x)/5

5x/2 + 5 = 20 - 4x

5x/2 + 4x = 15

13x/2 = 15

13x = 30

x = 30/13

y = (30/13)/2 + 1

y = 28/13

O vértice P é (30/13, 28/13).

A interseção entre r e t é:

y = 4/2 + 1

y = 3

O vértice Q é (3, 4).

A interseção entre s e t é:

y = (20 - 4.4)/5

y = 4/5

O vértice R é (4, 4/5). Para encontrar a área, basta calcular o determinante da matriz abaixo e multiplicar por 1/2:

30/13  28/13  1

   3         4     1

   4       4/5    1

det = (30/13).4 + (28/13).4 + 3 - 16 - (4/5)(30/13) - 3.(28/13)

det = 120/13 + 112/13 - 13 - 120/65 - 84/13

det = 148/13 - 169/13 - 24/13

det = -45/13

A área do triângulo é:

A = (1/2).|det|

A = (1/2).(45/13)

A = 45/26

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