Determine a área do triângulo ABC, sabendo que: A(1, 0) e B(-1, 0); BC tem por equação: y = x + 1; O coeficiente angular de AC é 2.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Estudante, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para determinar a área de um triângulo ABC sabendo-se que os vértices A e B têm as seguintes coordenadas: A(1; 0) e B(-1; 0). Também sabe-se que o lado BC tem por equação y = x + 1 e que o coeficiente angular (m) do lado AC é igual a "2".
ii) Agora note: vamos procurar encontrar quais são as coordenadas do vértice C(x; y). Para isso note que se o lado AC tem coeficiente angular igual a "2" e se esse lado passa no vértice A(1; 0), então dará para encontrarmos qual é a equação do lado AC. Para isso, basta que apliquemos a fórmula de encontrar a equação de uma reta quando já se conhece o coeficiente angular (m) e um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), que é esta:
y - y₀ = m*(x - x₀) ----- Como já temos as coordenadas de A(1; 0) e também já temos o coeficiente angular do lado AC (m = 2), então a sua equação do lado AC será esta:
y - 0 = 2*(x - 1) ---- desenvolvendo, teremos:
y = 2*x - 2 --- ou apenas:
y = 2x - 2.
iii) Agora veja que já poderemos encontrar quais são as coordenadas do vértice C, pois, para isso, basta que encontremos o ponto de intersecção do lado BC com o lado AC. Como temos que o lado BC tem equação y = x + 1 e como acabamos de ver que o lado AC tem equação y = 2x - 2, então vamos igualar essas duas equações que será o ponto de encontro delas duas lá no vértice C. Assim, teremos:
2x - 2 = x + 1 ----- passando "x" para o 1º membro e "-2" para o segundo, teremos:
2x - x = 1 + 2
x = 3 <--- Este é o valor da abscissa "x" no ponto de encontro, que é o vértice C.
E, para encontrar o valor da ordenada "y", vamos em quaisquer uma das equações das duas retas. Vamos na reta do lado BC, que é esta:
y = x + 1 ---- substituindo-se "x" por "3", teremos:
y = 3 + 1
y = 4 <---- Este é o valor da ordenada "y" no ponto de encontro das retas BC com AC.
iv) Assim, o vértice "C" terá as seguintes coordenadas: C(3; 4).
v) Agora, para encontrar a área, basta encontrarmos o determinante da matriz formada a partir das coordenadas dos vértices. E uma vez encontrado o determinante, basta que multipliquemos o seu MÓDULO por "1/2" e teremos a área pedida. Vamos, então, formar a matriz a partir das coordenadas de cada vértice: A(1; 0); B(-1; 0) e C(3; 4) e, ao formar a matriz, vamos logo deixar no ponto de desenvolvê-la para encontrar o seu determinante (d) pela regra de Sarrus. Assim teremos:
|1........0........1|1.......0|
|-1.......0.......1|-1......0| ---- desenvolvendo temos:
|3.......4........1|3......4|
d = 1*0*1 + 0*(1)*3 + 1*(-1)*4 - [3*0*1 + 4*1*1 + 1*(-1)*0]
d = 0 + 0 - 4 - [0 + 4 + 0] --- ou apenas:
d = - 4 - [+4] ---- retirando-se os colchetes, ficaremos com:
d = - 4 - 4
d = - 8
Agora tomaremos o módulo de "-8" e o multiplicamos por "1/2" e encontraremos a área (A). Assim teremos:
A = (1/2)*| - 8 | ----- como |-8| = 8, teremos:
A = (1/2)*8 ---- ou o que é a mesma coisa:
A = 8*1/2
A = 8/2
A = 4 u.a. <--- Esta é a resposta. Ou seja, o triângulo da sua questão tem "4 u.a.". Observação: u.a. = unidades de área.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.