Question

Determine a área de um hexágono regular sabendo que seu apótema mede
$16 \sqrt{3} \: cm$
​

Answer 1

Resposta:

resposta:      A = 1563√3 cm²

Explicação passo a passo:

Para calcular a área "A" de um polígono regular em função de seu apótema "a" e perímetro "P", devemos:

             $A = \frac{a.P}{2}$

Onde:

             A = área

              a = apótema

              P = perímetro

Para utilizarmos esta fórmula precisamos da medida do Perímetro "P" que é:

              $P = 6L$

Onde "L" é a medida do lado do hexágono.

Se o apótema "a" é o raio da circunferência inscrita no referido hexágono, então o apótema é igual à medida da altura "h" de cada um dos 6 triângulos decompostos do hexágono regular. Então:

              $a = h$

              $a = \frac{L\sqrt{3} }{2}$

Isolando "L" na equação temos:

              $L = \frac{2a}{\sqrt{3} }$

Racionalizando o denominador, temos:

$L = \frac{2a}{\sqrt{3} } = \frac{2a}{\sqrt{3} } .\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } = \frac{2\sqrt{3}a }{(\sqrt{3} )^{2} } = \frac{2\sqrt{3}a}{3}$

Portanto:

              $L = \frac{2\sqrt{3}a }{3}$

Então:

$A = \frac{aP}{2} = \frac{a.6.\frac{2\sqrt{3}a }{3} }{2} = \frac{\frac{12a^{2\sqrt{3} } }{3} }{2} = \frac{12a^{2}\sqrt{3} }{3} .\frac{1}{2} = \frac{12a^{2}\sqrt{3} }{6} = 2a^{2}\sqrt{3}$

Portanto:

           $A = 2a^{2}\sqrt{3}$

Se:

            $a = 16\sqrt{3} cm$

Então:

$A = 2a^{2}\sqrt{3} = 2.(16\sqrt{3} )^{2}\sqrt{3} = 2.16^{2}.(\sqrt{3} )^{2}\sqrt{3} = 2.256.3.\sqrt{3} = 1536\sqrt{3}cm^{2}$

Portanto:

        A = 1563√3 cm²

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