Question

Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas $y=x$ e $x=2$, a curva $y=1/x^{2}$ e o eixo x

Answer 1

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Observe a figura em anexo a esta resposta.

A área que desejamos calcular é a área da região em cinza.


Veja que será necessário dividir a integral que fornece a área em duas partes:   uma no trecho em que a função é $\mathsf{y=x},$ e outra em que a função é $\mathsf{y=\dfrac{1}{x^2}.}$


A área da região pedida é dada por

$\mathsf{A=\displaystyle\int_0^1 x\,dx+\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{A=\displaystyle\int_0^1 x\,dx+\int_1^2 x^{-2}\,dx\qquad\quad(i)}$

Como usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos encontrar primitivas para as funções que estão sendo integradas.


Regra para primitivas de potência:

$\mathsf{\displaystyle\int x^n\,dx}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{\dfrac{x^{n+1}}{n+1},}&\mathsf{se~~n\ne -1}\\\\ \mathsf{\ell n|x|,}&\mathsf{se~~n=-1} \end{array} \right.\\\\\\ \textsf{(a constante de integra\c{c}\~ao foi omitida aqui).}$


Então, usando o TFC para calcular $\mathsf{(i)},$ devemos ter

$\mathsf{A=\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\bigg|_0^1+\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}\bigg|_1^2}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1+\dfrac{x^{-1}}{-1}\bigg|_1^2}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1-\dfrac{1}{x}\bigg|_1^2}\\\\\\ \mathsf{A=\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1} \right )}$

$\mathsf{A=\left(\dfrac{1}{2}-0\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1 \right )}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A=1~u.a.} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  área entre curvas gráfico função integral definida cálculo integral