Question

Determine a área da região limitada pelo gráfico de f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço cos espaço x e o eixo x no intervalo de abre colchetes 0 vírgula espaço reto pi fecha colchetes.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{0}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos determinar a área da região limitada pelo gráfico de uma função e o eixo $x$. Para isso, utilizamos integrais.

Lembre-se que a área de uma região sob uma curva e o eixo, em um dado intervalo $[a,~b]$, tal que a função é contínua em todo o intervalo, é calculada pela integral $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx}$.

De acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a integral definida de uma função nestas condições resulta em: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada desta função e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Seja a função $f(x)=\cos(x)$ e a região está contida no intervalo $[0,~\pi]$, sua área será dada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\cos(x)\,dx}$

Sabendo que $\displaystyle{\int\cos(x)\,dx=\sin(x)$, temos

$\sin(x)~\biggr|_0^{\pi}$

Aplique os limites de integração, assim como foi descrito acima

$\sin(\pi)-\sin(0)$

Sabendo que $\sin(\pi)=\sin(0)=0$, temos

$0$

Este é o valor da área desta região neste intervalo. Isso significa que há um ponto neste intervalo, $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ , em que a curva intersecta o eixo e as áreas das regiões limitadas entre a curva e o eixo são iguais em módulo, mas sua soma é igual a zero.