Question

determine a area da regiao limitada pelas curvas y=x e y=raiz quadrada de 2x

Answer 1

Resposta:

$A = \dfrac{2}{3}~u.a.$

Explicação passo-a-passo:

Olá

Temos as funções $f(x) = x$ e $g(x) = \sqrt{2x}$

Para o cálculo da área da curva entre duas funções, devemos usar a integral.

Devemos encontrar os limites da função, isto é, o intervalo em que a curva se encontra no gráfico.

Igualando as duas funções, encontraremos tais limites:

$f(x) = g(x)\\\\\\ x = \sqrt{2x}$

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos

$x^2 = (\sqrt{2x})^2\\\\\\x^2 = 2x$

Passe todos os elementos que apresentem variáveis para o lado esquerdo da equação, alterando seus sinais

$x^2 - 2x = 0$

Existem diversas formas de resolver esta equação quadrática incompleta

Como este é um caso de $ax^2 + bx = 0$, podemos fatorar o $x$.

$x(x - 2) = 0$

Para que um produto de fatores seja igual a zero, pelo menos um ou ambos os fatores devem ser iguais a zero, logo

$\begin{cases}x = 0\\x -2= 0\end{cases}$

Em tal caso, temos os valores $x = 0$ e $x = 2$

Estes são nossos limites de integração

Sabemos também pelo gráfico que

$0\leq x\leq 2\\x\leq y\leq \sqrt{2x}$

Agora, calculemos a área da curva entre as funções na integral

$\displaystyle{A = \int_0^2\int\limits_x^\sqrt{2x}}dydx$

No caso da integral em y, temos um caso $\displaystyle{\int_b^a dy = a - b}$

$\displaystyle{A = \int_0^2 \sqrt{2x} - x\, dx$

Quando calculamos a integral de uma soma de funções, temos

$\displaystyle{\int_b^a f(x) \pm g(x)\,dx = \int_b^a f(x)\, dx \pm \int_b^a g(x)\, dx = F(x)\bigg|_b^a \pm G(x)\bigg|_b^a = F(a) - F(b) \pm G(a) - G(b)}$

Em tal caso,

$\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2x}\,dx - \int_0^2 x\, dx}$

Calculando as integrais, temos

1ª integral:

$\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2}\sqrt{x}\,dx = \sqrt{2}\cdot \int_0^2\sqrt{x}\,dx$

Para calcular tal integral, transformamos a raiz em um expoente de x

$\sqrt{2}\cdot\displaystyle{\int_0^2 x^{\bigg{\frac{1}{2}}}\,dx$

Então, usando a fórmula $\displaystyle{\int x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$, lembrando que quando a integral é definida, constante de integração é igual a zero.

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \int_0^2\sqrt{x}\,dx}\\\\\\ \sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{\bigg{\frac{1}{2} +1}}}{\left(\dfrac{1}{2}+1\right)}}\\\\\\ \sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{\bigg{\frac{3}{2}}}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}}\\\\\\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^3}}\cdot \dfrac{2}{3} \\\\\\\ \sqrt{2}\cdot x\sqrt{x}\cdot\dfrac{2}{3}\\\\\\\ \sqrt{2} \cdot\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}\bigg|_0^2$

Agora, substitua os limites de integração

$\sqrt{2}\cdot\dfrac{2\cdot 2\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2}\cdot\dfrac{2\cdot 0\sqrt{0}}{3}$

Calculando as multiplicações, temos

$\dfrac{4\cdot\sqrt{2^2}}{3} = \dfrac{4\cdot2}{3} = \dfrac{8}{3}$

2ª integral:

$\displaystyle{\int_0^2 x\,dx}$

Utilizando o mesmo princípio, calcule a integral indefinida

$\displaystyle{\int x^1\, dx} = \dfrac{x^{1+1}}{1+1}\\\\\\ \dfrac{x^2}{2}+C$

Portanto, temos

$\displaystyle{\int_0^2 x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^2$

Adicionando os limites de integração, obtemos

$\dfrac{2^2}{2} - \dfrac{0^2}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Com os valores em mãos, devolvemos para sua forma original

$\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2x}\,dx - \int_0^2 x\, dx} = \dfrac{8}{3} - 2$

Calculando a subtração de frações, temos

$\dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{2}{1} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{3\cdot 2}{3} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{6}{3} = \dfrac{8 -6}{3} = \dfrac{2}{3}$

Logo, a área da curva entre as funções $\sqrt{2x}$ e $x$ é de

$A = \dfrac{2}{3}~u.a.$

Answer 2

Resposta:

reposta e 2/3 unidades de área

Explicação passo a passo:

não importa a letra A resposta esta correta e conferida....