Question

Determine a área da região limitada pelas curvas y= -1-x² e y= -2x-4.
9/2 u.a
14/3 u.a
32/3 u.a
1/2 u.a
16/3 u.a

Answer 1

Primeira coisa que vamos fazer eh ver onde estas se encontram:

-2x-4=-1-x²
x²-2x-3=0
x=-1 ou x=3

Agora que sabemos os limites podemos tirar a integral:

$\int\limits^3_{-1} \ \ { \int\limits^{-1-x^2}_{-2x-4} {} \, dy } \, dx \\\\\\ \int\limits^3_{-1} \ \ { [y]^{-1-x^2}_{-2x-4} } \, dx\\\\\\\int\limits^3_{-1} \ \ { -1-x^2-(-2x-4)} \, dx\\\\\\\int\limits^3_{-1} \ \ { -1-x^2+2x+4} \, dx\\\\\\\int\limits^3_{-1} \ \ { -x^2+2x+3} \, dx\\\\\\\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x\right]^3_{-1}\\\\\\\left(-\dfrac{3^3}{3}+3^2+3(3)\right)-\left(-\dfrac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3(-1)\right)\\\\\\(9)-\left(-\dfrac53\right)=\boxed{\dfrac{32}{3}}$