Question

determine a área da região limitada pelas curvas x + y = 3 e y + x² = 3

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{1}{6}$

Explicação passo a passo:

Reorganizando as expressões, são dadas a curva $y=-x^2+3$ e a reta $y=-x+3$, que podem ser visualizadas na imagem anexada.

Percebe-se que, para calcular a área limitada pela curva e pela reta (a área entre elas), basta calcular a integral definida de um ponto de intersecção a outro, da curva, e subtrair, deste valor, a da reta.

Encontrando as intersecções:

$-x^2+3=-x+3\\\\-x^2=-x\\\\x^2-x=0\\\\x(x-1)=0\\\\x_1=0\\x_2=1$

Calculando a área $S$:

$S=\int\limits^{1}_{0} {-x^2+3} \, dx -\int\limits^{1}_{0} {-x+3} \,dx\\\\\\S=\int\limits^{1}_{0} {-x^2+3-(-x+3)} \, dx\\\\\\S=\int\limits^{1}_{0} {-x^2+3+x-3} \, dx\\\\S=\int\limits^{1}_{0} {-x^2+3+x-3} \, dx\\\\\\S=\int\limits^{1}_{0} {-x^2+x} \, dx=\left[-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2\right]^{1}_{0}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$