Question

Determine a área da região entre a curva y = x^2-2x-3 e y=2x+2

Answer 1

Boa noite!

Primeiramente, uma região limitada por duas curvas y=f(x) e y=g(x) possui interseções em x e y iguais para cada função. Então, devemos igualar as funções para achar os pontos de interseção entre as curvas:

f(x) = g(x)
x² - 2x - 3 = 2x + 2
x² - 2x - 2x - 3 - 2 = 0
x² - 4x - 5 = 0

Duas raízes que somadas dá 4 e o produto é -5 são: x1 = -1 e x2 = 5

A área da região limitada pelas curvas pode ser obtida pela diferença das integrais entre f(x) e g(x):

A = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx

Os limites de integração serão as raízes da igualdade encontradas acima.

Então,

A = ∫(x²-2x-3)dx  - ∫(2x+2)dx

Podemos separar cada um dos termos em integrais diferentes, pela propriedade da soma e da diferença entre integrais:

A = ∫x²dx - ∫2xdx - ∫3dx - ∫2xdx - ∫2dx

Resolvendo:

A = (x³/3) - (2x²/2) - (3x) - (2x²/2) - (2x)

Aplicando os limites de integração, de -1 a 5:

A = (5³ - (-1)³)/3 - (5² - (-1)²) - 3(5 - (-1)) - (5² - (-1)²) - 2(5 - (-1))

A = 36 u.a. (em módulo)